Verificar a homogeneidade dimensional da seguinte equação
Sabe-se que
é altura,
é aceleração da gravidade,
é tempo,
é energia cinética,
é massa,
é velocidade,
é a força centrípeta,
é o raio,
é a variação de pressão,
é a massa específica volumétrica,
é a aceleração,
é o momento de uma força,
é a força,
é o volume e
é o trabalho realizado por uma força.
Sabe-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a equação dada é dimensionalmente homogênea. Isso quer dizer que as dimensões (tipo de unidades, como comprimento, massa, tempo) dos dois lados da equação precisam ser iguais. A equação que vamos analisar é:
Aqui,
é a altura,
é o momento de uma força e
é a variação de pressão. Vamos precisar entender as dimensões de cada uma dessas grandezas para comparar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada grandeza em termos de unidades básicas:
-
Altura (
): Tem dimensão de comprimento, representada por . -
Momento de uma força (
): É a força multiplicada pela distância. A força ( ) tem dimensão de massa vezes aceleração ( ), então o momento de força fica . -
Variação de pressão (
): Pressão é força por unidade de área. Então, a dimensão é .
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
Antes de tudo, o
é uma constante adimensional, ou seja, não afeta as dimensões. Vamos focar na raiz cúbica de
.
Passo 4
Vamos substituir as dimensões de
e
:
Aqui, as dimensões de massa (
) e tempo (
) se cancelam, restando apenas
.
Passo 5
Agora, aplicamos a raiz cúbica em
:
Então, todo o lado direito da equação tem dimensão
, que é a mesma dimensão de
no lado esquerdo.
Resposta
A equação é dimensionalmente homogênea, pois ambos os lados possuem a mesma dimensão de comprimento (
).