Dada a equação da elipse:
x^225+y^29=1
(a) Determine os focos. (1,0 pt.)
(b) Encontre a equação da reta que passa pelos focos. (1,0 pt.)
(c) Calcule as coordenadas dos vértices e dos extremos do eixo menor. (1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
x^225+y^29=1
e pede (a) os focos, (b) a reta que passa por eles e (c) os vértices e os extremos do eixo menor. O conteúdo é geometria analítica de elipses em posição canônica, onde usamos que a maior semi-distância ao centro é a, a menor é b e os focos ficam a uma distância c do centro, com
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Da forma canônica identificamos
a^2 = 25, b^2 = 9Longrightarrow a = 5,; b = 3
Logo
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 Longrightarrow c = 4
Como o semieixo maior está sobre o eixo x, os focos são
(pm c,0) = (-4,0) e (4,0)

Passo 3

A reta que passa por (-4,0) e (4,0) é horizontal e vale
y = 0,
pois ambos os pontos têm coordenada y=0.

Passo 4

Os vértices do eixo maior ficam em (pm a,0), ou seja
(-5,0) e (5,0)
Os extremos do eixo menor ficam em (0,pm b), ou seja
(0,-3) e (0,3)

Resposta

(a) Focos: (-4,0) e (4,0).
(b) Reta: y=0.
(c) Vértices: (-5,0), (5,0); extremos do eixo menor: (0,-3), (0,3).

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