Determine todos os valores de k in R para os quais a reta r: y=k x+1 seja tangente à circunferência x^2+y^2=5. (1,5 pt.)

Passo 1

O enunciado pede os valores de kinR tais que a reta
r:;y = kx + 1
seja tangente à circunferência
x^2 + y^2 = 5
Isso envolve o conceito de sistema formado pela reta e pela circunferência ter uma única solução, ou seja, ter discriminante nulo.

Passo 2

Substituindo y = kx + 1 em x^2 + y^2 = 5, obtemos
x^2 + (kx+1)^2 = 5
x^2 + k^2x^2 + 2k x + 1 - 5 = 0
(1+k^2),x^2 + 2k,x - 4 = 0

Passo 3

O discriminante dessa equação quadrática é
De<a = (2k)^2 - 4,(1+k^2),(-4) = 4k^2 + 16(1+k^2) = 20k^2 + 16
Para tangência precisamos de De<a=0, isto é
20k^2 +16 = 0 Longrightarrow k^2 = -tfrac45,
o que não admite solução real.

Passo 4

Como k^2 não pode ser negativo em R, concluímos que não existe valor real de k que torne a reta tangente à circunferência.

Resposta

Não há nenhum kinR que satisfaça a condição de tangência.

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