Sejam os vetores u=(3,-1), v=(1,2).
(a) Determine o ângulo entre u e v. (0,5 pt.)
(b) Encontre a projeção de u sobre v. (1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,-1) e v=(1,2) e pede: (a) o ângulo entre eles, (b) a projeção de u sobre v. O conteúdo é produto escalar, norma de vetor, fórmula do ângulo entre vetores e fórmula da projeção ortogonal:
theta = arccosl(ucdotv|u|;|v|r), projv(u) = ucdotv|v|^2;v

Passo 2

Calculamos o produto escalar e as normas:
ucdotv = 3cdot1 + (-1)cdot2 = 3 - 2 = 1,
|u| = raiz3^2+(-1)^2 = raiz10, |v| = raiz1^2+2^2 = raiz5

Passo 3

Usando a fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = ucdotv|u|;|v| = 1raiz10,raiz5 = 1raiz50 = 15raiz2
Portanto,
theta = arccos!l(15raiz2r) approx 81,87^circ

Passo 4

Aplicando a fórmula da projeção de u sobre v:
projv(u) = ucdotv|v|^2;v = 15,(1,2) = l(tfrac15,,tfrac25r)

Resposta

(a) theta = arccos!l(tfrac15raiz2r)approx 81,87^circ
(b) projv(u) = l(tfrac15,tfrac25r)

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