Dada a parábola , escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto , e então encontre o ponto da parábola em que a tangente é perpendicular à tangente no ponto . (4 pt.)
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à parábola no ponto e depois o ponto da mesma parábola cuja reta tangente seja perpendicular àquela em . O conteúdo envolvido é derivação implícita para obter , equação de reta tangente e condição de perpendicularidade de retas.
Passo 2
Fazendo derivação implícita em :
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Passo 3
No ponto temos
A reta tangente em P satisfaz
y-4=1,(x-2),
que também pode ser escrita como
y=x+2
Passo 4
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é -1. Como mP=1, a reta perpendicular deve ter
m=-1
Igualando à derivada,
4y=-1 Longrightarrow y=-4
Passo 5
Substituindo y=-4 em y^2=8x para achar x:
(-4)^2=8x Longrightarrow 16=8x Longrightarrow x=2
Portanto o ponto buscado é (2,-4).
Resposta
Equação da reta tangente em P:
y-4=x-2ou y=x+2
Ponto da parábola com tangente perpendicular à de P: (2,-4).