Dada a parábola y^2=8 x, escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto P=(2,4), e então encontre o ponto da parábola em que a tangente é perpendicular à tangente no ponto P. (4 pt.)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola y^2=8x no ponto P=(2,4) e depois o ponto da mesma parábola cuja reta tangente seja perpendicular àquela em P. O conteúdo envolvido é derivação implícita para obter dy/dx, equação de reta tangente e condição de perpendicularidade de retas.

Passo 2

Fazendo derivação implícita em ,y^2=8x:
2y,dydx=8
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dydx=4y

Passo 3

No ponto P=(2,4) temos
mP=dydx|(2,4)=44=1
A reta tangente em P satisfaz
y-4=1,(x-2),
que também pode ser escrita como
y=x+2

Passo 4

Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é -1. Como mP=1, a reta perpendicular deve ter
m=-1
Igualando à derivada,
4y=-1 Longrightarrow y=-4

Passo 5

Substituindo y=-4 em y^2=8x para achar x:
(-4)^2=8x Longrightarrow 16=8x Longrightarrow x=2
Portanto o ponto buscado é (2,-4).

Resposta

Equação da reta tangente em P:
y-4=x-2ou y=x+2
Ponto da parábola com tangente perpendicular à de P: (2,-4).

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