A superfície x^{2}-y^{2}-z^{2}=0 representa qual tipo de quádica? Esboce a interseção dessa superfície com o plano z=1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x^{2}-y^{2}-z^{2}=0
e pede duas coisas:
  • Identificar que tipo de quádica essa superfície representa.
  • Esboçar (descrever) a interseção dessa superfície com o plano z=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea de grau 2 (todas as parcelas têm grau 2).
  • O plano de interseção é z=1 (um plano paralelo ao plano xy, deslocado para z=1).

Passo 2

Entender o tipo de superfície: comece reescrevendo a equação de forma mais informativa. A equação pode ser rearranjada como
x^{2}=y^{2}+z^{2}.
Essa forma diz que, para cada valor fixo de x, os pontos (y,z) satisfazem
y^{2}+z^{2}=x^{2},
ou seja, formam um círculo de raio |x| no plano paralelo ao plano yz. Observações importantes tiradas desta igualdade:
  • Quando x=0 temos y^{2}+z^{2}=0, logo y=0 e z=0: o único ponto é a origem.
  • Para x>0 há um círculo de raio x no plano yz (centro na origem do plano yz).
  • Para x<0 há também um círculo de raio |x|.
A família de círculos que cresce linearmente com |x| descreve duas nappas (duas “pontas”) encontrando-se na origem: é um cone duplo (cone circular com vértice na origem) cujo eixo é o eixo x. Portanto a superfície é um cone duplo com vértice em (0,0,0) e eixo no sentido do eixo x.

Passo 3

Complementando a identificação com cortes planas (útil para a prova): examine cortes por planos coordenados:
  • Corte por z=0: substituindo z=0 obtemos x^{2}-y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (x-y)(x+y)=0,ou seja, as duas retas y=x e y=-x (essas são as interseções da origem com a seção do cone por z=0).
  • Corte por y=0: obtemos x^{2}-z^{2}=0, novamente duas retas z=\pm x.
    Essas retas na seção central confirmam que a superfície tem forma cônica (no caso, dois cones simétricos).

Passo 4

Agora faça a interseção com o plano z=1. Substitua z=1 na equação da superfície:
x^{2}-y^{2}-1=0.
Reescrevendo:
x^{2}-y^{2}=1.
Essa é a equação, no plano z=1, de uma hipérbole no sistema de coordenadas x,y. Em particular, é a hipérbole padrão no formato
\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1}=1,
cujo centro (no plano z=1) é o ponto (0,0,1).

Passo 5

Características geométricas da hipérbole \,x^{2}-y^{2}=1 (no plano z=1), úteis para esboçar:
  • Vértices: ocorrem quando y=0, então x^{2}=1 e os vértices são (1,0,1) e (-1,0,1).
  • Assíntotas: a hipérbole tem assíntotas obtidas deixando termos de maior ordem; aqui as assíntotas são as retas x = \pm yno plano z=1 (essas retas passam pelo centro (0,0,1)).
  • Ramos: dois ramos, um com x\ge 1 (ramo à direita) e outro com x\le -1 (ramo à esquerda).
  • Parametrização útil para desenhar (uma forma prática para a prova): x=\pm\operatorname{cosh} t,\qquad y=\operatorname{sinh} t,\qquad z=1,\qquad t\in\mathbb{R}.Em t=0 obtém-se os vértices (\pm1,0,1). Para |t|\to\infty os ramos aproximam as assíntotas x=\pm y.

Passo 6

Como esboçar rapidamente (passo a passo prático para a prova):
  • Desenhe o plano horizontal representando z=1 e marque o ponto central (0,0,1).
  • Trace as duas assíntotas x=y e x=-y passando por (0,0,1).
  • Marque os vértices (1,0,1) e (-1,0,1).
  • Desenhe dois ramos que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando se afastam do centro. Lembre-se: não há pontos da hipérbole entre -1<x<1.

Resposta

Cone duplo (cone circular com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo x).
A interseção com z=1 é a hipérbole x^{2}-y^{2}=1 no plano z=1, com vértices em (\pm1,0,1) e assíntotas x=\pm y (no plano z=1).

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