A superfície
representa qual tipo de quádica? Esboce a interseção dessa superfície com o plano
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede duas coisas:
- Identificar que tipo de quádica essa superfície representa.
- Esboçar (descrever) a interseção dessa superfície com o plano
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é homogênea de grau 2 (todas as parcelas têm grau 2).
- O plano de interseção é
(um plano paralelo ao plano , deslocado para ).
Passo 2
Entender o tipo de superfície: comece reescrevendo a equação de forma mais informativa. A equação pode ser rearranjada como
Essa forma diz que, para cada valor fixo de
, os pontos
satisfazem
ou seja, formam um círculo de raio
no plano paralelo ao plano
. Observações importantes tiradas desta igualdade:
- Quando
temos , logo e : o único ponto é a origem. - Para
há um círculo de raio no plano (centro na origem do plano ). - Para
há também um círculo de raio .
A família de círculos que cresce linearmente com
descreve duas nappas (duas “pontas”) encontrando-se na origem: é um cone duplo (cone circular com vértice na origem) cujo eixo é o eixo
. Portanto a superfície é um cone duplo com vértice em
e eixo no sentido do eixo
.
Passo 3
Complementando a identificação com cortes planas (útil para a prova): examine cortes por planos coordenados:
- Corte por
: substituindo obtemos ou seja, as duas retas e (essas são as interseções da origem com a seção do cone por ). - Corte por
: obtemos , novamente duas retas .
Essas retas na seção central confirmam que a superfície tem forma cônica (no caso, dois cones simétricos).
Passo 4
Agora faça a interseção com o plano
. Substitua
na equação da superfície:
Reescrevendo:
Essa é a equação, no plano
, de uma hipérbole no sistema de coordenadas
. Em particular, é a hipérbole padrão no formato
cujo centro (no plano
) é o ponto
.
Passo 5
Características geométricas da hipérbole
(no plano
), úteis para esboçar:
- Vértices: ocorrem quando
, então e os vértices são e . - Assíntotas: a hipérbole tem assíntotas obtidas deixando termos de maior ordem; aqui as assíntotas são as retas
no plano (essas retas passam pelo centro ). - Ramos: dois ramos, um com
(ramo à direita) e outro com (ramo à esquerda). - Parametrização útil para desenhar (uma forma prática para a prova):
Em obtém-se os vértices . Para os ramos aproximam as assíntotas .
Passo 6
Como esboçar rapidamente (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe o plano horizontal representando
e marque o ponto central . - Trace as duas assíntotas
e passando por . - Marque os vértices
e . - Desenhe dois ramos que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando se afastam do centro. Lembre-se: não há pontos da hipérbole entre
.
Resposta
Cone duplo (cone circular com vértice em
e eixo ao longo do eixo
).
A interseção com é a hipérbole
no plano
, com vértices em
e assíntotas
(no plano
).
A interseção com