Resolva o PVI linear de segunda ordem: y^prime prime+3 y^prime-4 y=0, y(0)=2 ; y^prime(0)=-1 deixando bem claras:
(a) (1,5) A solução geral da EDO.
(b) (1,5) A solução particular do PVI.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' + 3y' - 4y = 0, y(0)=2, y'(0)=-1
Aqui o conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro encontraremos a solução geral pelo método da equação característica; depois ajustaremos as constantes usando as condições iniciais para obter a solução particular.

Passo 2

Para achar a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^2 + 3r - 4 = 0
Resolvendo-a por fórmula de Bhaskara ou fatoração, temos
r = 1 ou r = -4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
yg(x) = C1 e^x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Agora usamos as condições iniciais. Primeiro calculamos y'(x):
y'(x) = C1 e^x - 4C2 e^-4x
Em x=0 as duas condições viram
y(0)=C1 + C2 = 2,
y'(0)=C1 - 4C2 = -1
Esse é um sistema linear em C1,C2. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 - 4C2) - (C1 + C2) = -1 - 2 ;Longrightarrow; -5C2 = -3 ;Longrightarrow; C2 = tfrac35
E então
C1 = 2 - C2 = 2 - tfrac35 = tfrac75

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = 75e^x + 35e^-4x

Resposta

(a) A solução geral é
yg(x) = C1 e^x + C2 e^-4x
(b) A solução particular que satisfaz y(0)=2 e y'(0)=-1 é
y(x) = 75e^x + 35e^-4x

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