Resolva o PVI linear de segunda ordem:
deixando bem claras:
(a)
A solução geral da EDO.
(b)
A solução particular do PVI.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Aqui o conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro encontraremos a solução geral pelo método da equação característica; depois ajustaremos as constantes usando as condições iniciais para obter a solução particular.
Passo 2
Para achar a solução geral, montamos a equação característica associada:
Resolvendo-a por fórmula de Bhaskara ou fatoração, temos
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais. Primeiro calculamos
:
Em
as duas condições viram
Esse é um sistema linear em
. Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
Resposta
(a) A solução geral é
(b) A solução particular que satisfaz
e
é