É dada a equação:
:
(a)
Mostre que a equação é exata.
(b)
Mostre que
é o potencial escalar para esta equação.
(c)
Levando em consideração a condição inicial
, determine a solução do PVI formado por esta condição e a equação acima.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que ela é exata, (b) encontrar a função potencial
, e (c) resolver o problema de valor inicial com
. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e potenciais escalares.
Passo 2
Para verificar a exatidão, identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração em função de
.
Agora impomos
Agora impomos
logo
e
.
Assim
Assim
Passo 4
A solução geral vem de
, ou seja
Usando a condição inicial
, obtemos
então
. A solução do PVI fica