É dada a equação: (2 x+y e^x y) d x+(-2 y+x e^x y) d y=0 :
(a) (1,5) Mostre que a equação é exata.
(b) (1,5) Mostre que varphi(x, y)=x^2-y^2+e^x y é o potencial escalar para esta equação.
(c) (1,0) Levando em consideração a condição inicial y(0)=1, determine a solução do PVI formado por esta condição e a equação acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(2x + y,e^xyr),dx + l(-2y + x,e^xyr),dy = 0
e pede: (a) mostrar que ela é exata, (b) encontrar a função potencial varphi(x,y), e (c) resolver o problema de valor inicial com y(0)=1. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e potenciais escalares.

Passo 2

Para verificar a exatidão, identificamos
M(x,y) = 2x + y,e^xy, N(x,y) = -2y + x,e^xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial yl(2x + y,e^xyr) = e^xy + y,(x,e^xy) = e^xy(1 + xy),
partial Npartial x = partialpartial xl(-2y + x,e^xyr) = e^xy + x,(y,e^xy) = e^xy(1 + xy)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x = M(x,y) e partial varphipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
varphi(x,y) = integrall(2x + y,e^xyr),dx = x^2 + e^xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração em função de y.
Agora impomos
partial varphipartial y = x,e^xy + h'(y) stackrel!= -2y + x,e^xy,
logo h'(y) = -2y e h(y) = -y^2.
Assim
varphi(x,y) = x^2 - y^2 + e^xy

Passo 4

A solução geral vem de varphi(x,y)=C, ou seja
x^2 - y^2 + e^xy = C
Usando a condição inicial y(0)=1, obtemos
0^2 - 1^2 + e^0cdot1 = -1 + 1 = 0,
então C=0. A solução do PVI fica
x^2 - y^2 + e^xy = 0

Resposta

x^2 - y^2 + e^xy = 0

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