Dada a equação da onda de dAlembert
nabla^2 Psi-1c^2 partial^2 Psipartial t^2=0
onde Psi(x, y, z, t) é um campo escalar. Mostre que:
(a) A equação da onda não é invariante sob as transformações de Galileu;
(b) A equação da onda é invariante sob as transformações de Lorentz.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente brincar com a famosa equação da onda de d’Alembert
nabla^2Psi-1c^2partial^2Psipartial t^2=0,,
que vale pra qualquer campo escalar . A matéria aqui é “invariância de equações diferenciais parciais” sob duas transformações de coordenadas: as de Galileu (do nosso mecânico clássico) e as de Lorentz (da relatividade restrita).
O que vamos precisar:
1) Saber as transformações de Galileu e Lorentz e como elas mudam as derivadas parciais (regra da cadeia).
2) Mostrar passo a passo que, se trocarmos por via Galileu, a forma da equação muda; mas se fizermos via Lorentz ela “fica igualzinha”.

Passo 2

Em Galileu, a gente diz que o “novo” referencial x' = x - vt, y' = y, z' = z, t' = t se move com velocidade constante partialpartial t = partial x'partial tpartialpartial x' + partial t'partial tpartialpartial t' = (-v)partialpartial x' + 1cdotpartialpartial t' = partialpartial t' - v,partialpartial x' em relação a partialpartial x = partial x'partial xpartialpartial x' = 1cdotpartialpartial x' ao longo do eixo partial^2partial t^2 = l(partialt' - v,partialx'r)^2 = partialt'^2 -2v,partialt'partialx' + v^2,partialx'^2, :
partial^2partial x^2 = partialx'^2
Agora a mágica: vamos ver como as derivadas em partialx'^2 + partialy'^2 + partialz'^2 ;-;1c^2l[partialt'^2 -2v,partialt'partialx' + v^2partialx'^2r] =0 e l(1-tfracv^2c^2r)partialx'^2 + partialy'^2 + partialz'^2 ;-;tfrac1c^2,partialt'^2 + tfrac2vc^2,partialt'partialx' = 0 mudam. Pela regra da cadeia,
E como , a derivada em é simples:
Então
Substituindo na equação da onda:
Reagrupando, dá
Isso claramente NÃO é a mesma forma original (faltou aquele cruzamento e o coeficiente de mudou). Conclusão: a equação da onda não é invariante em Galileu.

Passo 3

Agora entra a relatividade restrita. As transformações de Lorentz (padrão, movimento em x' = gamma ,(x - v,t), t' = gamma,(t - tfracvc^2,x), y' = y, z' = z, onde gamma = 1raiz1-v^2/c^2 ) são
square = nabla^2 - 1c^2,partialt^2,
A parte bonita é que, se definirmos o operador d’Alembertiano
nabla'^2Psi - 1c^2,partialt'^2Psi = 0
ele é um escalar sob transformações de Lorentz. Isso significa que, aplicando a regra da cadeia direitinho, cada derivada em eta^munupartialmupartialnu ;=;eta'^munupartial'mupartial'nu e dá um mix, mas as combinações

e as outras se reorganizam exatamente de volta na forma original. Em outras palavras, fica
sem nenhum termo extra. Isso acontece porque a métrica de Minkowski

é preservada por Lorentz, garantindo

Resposta

(a) A equação da onda não é invariante sob Galileu.
(b) A equação da onda é invariante sob Lorentz.

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