Dada a equação de onda
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação chamada equação de onda que descreve como ondas, como a luz, se comportam. A equação dada é:
O exercício pede para mostrar que uma certa forma de onda plana é uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e ondas harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma onda plana. Ela é representada por:
Aqui:
-
é a amplitude da onda. -
é o vetor de onda, que indica a direção e o tamanho da onda. -
é a posição. -
é a frequência angular. -
é o tempo. -
é a unidade imaginária, usada para representar ondas de forma compacta.
Nossa missão é provar que essa expressão para
satisfaz a equação de onda dada.
Passo 3
Vamos começar calculando o Laplaciano de
, que é representado por
. O Laplaciano em coordenadas cartesianas é:
Como
depende apenas de
e
, derivar duas vezes em relação a
nos dá:
Isso porque derivar
duas vezes em relação a
traz um fator de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de
:
Isso ocorre porque derivar duas vezes em relação a
o termo
traz um fator de
.
Passo 5
Substituindo os resultados nas duas partes da equação de onda:
e
Passo 6
Para que a equação de onda seja satisfeita, as duas expressões devem ser iguais:
Podemos simplificar cancelando o
dos dois lados:
Isso nos dá a relacionamento de dispersão para ondas eletromagnéticas no vácuo.
Passo 7
Portanto, mostramos que:
é realmente uma solução da equação de onda, desde que:
Resposta
A função
satisfaz a equação de onda, comprovando que é uma solução válida.