Dada a equação de onda
nabla^2 E=1c^2 partial^2partial t^2 E
mostre que
E^prime=E^prime e^i(Kk^prime cdot r-omega t)
E^prime=E0^prime e^i(K cdot r^prime-omega t) é solução éçã

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação chamada equação de onda que descreve como ondas, como a luz, se comportam. A equação dada é:
nabla^2 E = 1c^2 partial^2partial t^2 E
O exercício pede para mostrar que uma certa forma de onda plana é uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma onda plana. Ela é representada por:
E^prime = E0^prime e^i(K cdot r^prime - omega t)
Aqui:
  • E0^prime é a amplitude da onda.
  • K é o vetor de onda, que indica a direção e o tamanho da onda.
  • r^prime é a posição.
  • omega é a frequência angular.
  • t é o tempo.
  • i é a unidade imaginária, usada para representar ondas de forma compacta.
Nossa missão é provar que essa expressão para E^prime satisfaz a equação de onda dada.

Passo 3

Vamos começar calculando o Laplaciano de E^prime, que é representado por nabla^2 E^prime. O Laplaciano em coordenadas cartesianas é:
nabla^2 E^prime = partial^2 E^primepartial x^2 + partial^2 E^primepartial y^2 + partial^2 E^primepartial z^2
Como E^prime depende apenas de K cdot r^prime e t, derivar duas vezes em relação a r^prime nos dá:
nabla^2 E^prime = -|K|^2 E^prime
Isso porque derivar e^iK cdot r^prime duas vezes em relação a r^prime traz um fator de -|K|^2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de E^prime:
partial^2 E^primepartial t^2 = -omega^2 E^prime
Isso ocorre porque derivar duas vezes em relação a t o termo e^-iomega t traz um fator de - omega^2.

Passo 5

Substituindo os resultados nas duas partes da equação de onda:
nabla^2 E^prime = -|K|^2 E^prime
e
1c^2 partial^2 E^primepartial t^2 = -omega^2c^2 E^prime

Passo 6

Para que a equação de onda seja satisfeita, as duas expressões devem ser iguais:
-|K|^2 E^prime = -omega^2c^2 E^prime
Podemos simplificar cancelando o -E^prime dos dois lados:
|K|^2 = omega^2c^2
Isso nos dá a relacionamento de dispersão para ondas eletromagnéticas no vácuo.

Passo 7

Portanto, mostramos que:
E^prime = E0^prime e^i(K cdot r^prime - omega t)
é realmente uma solução da equação de onda, desde que:
|K| = omegac

Resposta

A função E^prime = E0^prime e^i(K cdot r^prime - omega t) satisfaz a equação de onda, comprovando que é uma solução válida.

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