É dada a equação de onda unidimensional
, em que
é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que
tem uma direção constante, ou seja, a direção
. Introduzindo a mudança de variáveis,
e
demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação para obter
, em que
e
são funções arbitrárias.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que, ao usar as variáveis
a equação de onda unidimensional
fica numa forma bem fácil de integrar. O conteúdo é equação em derivadas parciais e mudança de variáveis usando a regra da cadeia. A gente vai precisar:
- aplicar a regra da cadeia para achar
e em termos de e ; - calcular as segundas derivadas;
- ver que a equação vira
; - integrar essa equação simples.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as derivadas parciais em função de
e
. Pela regra da cadeia:
Passo 3
Agora a gente precisa das segundas derivadas:
- Para
:
(acolá “
” é a derivada mista).
- Para
:
Passo 4
Substituindo na equação de onda:
Como a equação diz que isso vale zero, temos
Passo 5
A equação
diz que a derivada de
em relação a
é zero, ou seja,
não depende de
. Logo
para certa função
. Integrando em
:
onde
e
são funções arbitrárias (constantes de integração ficam nessas).