É dada a equação de onda unidimensional partial^2 Epartial z^2-1c^2 partial^2 Epartial t^2=0, em que E é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que E tem uma direção constante, ou seja, a direção y. Introduzindo a mudança de variáveis, xi=t+zc e eta=t-zc demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação para obter E(z, t)=E1(xi)+E2(eta), em que E1 e E2 são funções arbitrárias.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que, ao usar as variáveis
xi = t + zc, eta = t - zc,
a equação de onda unidimensional
partial^2 Epartial z^2 ;-;1c^2,partial^2 Epartial t^2 = 0
fica numa forma bem fácil de integrar. O conteúdo é equação em derivadas parciais e mudança de variáveis usando a regra da cadeia. A gente vai precisar:
  1. aplicar a regra da cadeia para achar e em termos de e ;
  2. calcular as segundas derivadas;
  3. ver que a equação vira ;
  4. integrar essa equação simples.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas parciais em função de partialpartial t = partial xipartial t,partialpartialxi + partial etapartial t,partialpartialeta = 1cdotpartialpartialxi + 1cdotpartialpartialeta = partialpartialxi + partialpartialeta e partialpartial z = partial xipartial z,partialpartialxi + partial etapartial z,partialpartialeta = 1c,partialpartialxi - 1c,partialpartialeta = 1cl(partialpartialxi - partialpartialetar) . Pela regra da cadeia:

Passo 3

Agora a gente precisa das segundas derivadas:
  1. Para partial^2 Epartial t^2 = partialpartial tl(partial Epartialxi + partial Epartialetar) = l(partialpartialxi + partialpartialetar) l(Exi + Eetar) = Exixi + 2,Exieta + Eetaeta :
partial^2 Epartial z^2 = partialpartial zl[tfrac1c(Exi - Eeta)r] = 1cl(tfrac1c(Exixi - Exieta) - tfrac1c(Eetaxi - Eetaeta)r)
(acolá “ = 1c^2l(Exixi -2,Exieta + Eetaetar) ” é a derivada mista).
  1. Para :

Passo 4

Substituindo na equação de onda:
partial^2 Epartial z^2 -1c^2,partial^2 Epartial t^2 = 1c^2(Exixi -2Exieta + Eetaeta) - 1c^2(Exixi +2Exieta + Eetaeta)
= 1c^2l(Exixi -2Exieta + Eetaeta - Exixi -2Exieta - Eetaetar) = -4c^2,Exieta
Como a equação diz que isso vale zero, temos
Exieta = 0

Passo 5

A equação Exi = f(xi) diz que a derivada de E(xi,eta) = integral f(xi),dxi + g(eta) = E1(xi) + E2(eta), em relação a é zero, ou seja, não depende de . Logo
para certa função . Integrando em :
onde e são funções arbitrárias (constantes de integração ficam nessas).

Resposta

boxedE(z,t) = E1l(t + tfraczcr);+;E2l(t - tfraczcr)

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