Dada a equação paramétrica x=sec t, y=tan t,-pi2<t<pi2.
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. (1,0 ponto) (sect, tant)
b) Esbose o gráfico da curva. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = sec t, y = tan t com -pi2 < t < pi2.
O conteúdo é conversão de parametrização trigonométrica em equação cartesiana, usando a identidade trigonométrica
1 + tan^2 t = sec^2 t

Passo 2

Aplicando a identidade 1 + tan^2 t = sec^2 t às variáveis x e y, temos
1 + y^2 = x^2
Rearranjando, obtemos a equação cartesiana
x^2 - y^2 = 1

Passo 3

Como x = sec t e -pi2 < t < pi2, temos cos t>0 e, portanto, sec t>=1. Logo, da equação
x^2 - y^2 = 1
ficamos apenas com o ramo da hipérbole correspondente a x>=1.

Passo 4

Para ttopmpi2 temos x=sec tto+infty e y=tan ttopminfty. Isso mostra que o ramo se aproxima das assimptotas da hipérbole
y = +x e y = -x
e intercepta o eixo x no ponto (1,0).

Resposta

a) A equação cartesiana é
x^2 - y^2 = 1,
com x >= 1.
b) O gráfico é o ramo direito da hipérbole x^2 - y^2 = 1, começando em (1,0) e aproximando-se das assimptotas y = pm x conforme |y|toinfty.

Exercícios relacionados