Obtenha uma reta reta paralela ao plano coordenado x O y que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem vetor diretor v=(2,3,0). Lembre-se que: Uma reta é paralela a um dos planos coordenados x O y, y O z, x O z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correpondente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que seja paralela ao plano coordenado xOy, passe pelo ponto A=(-1,2,4) e tenha vetor diretor vec v=(2,3,0). O assunto aqui é geometria analítica em R^3, envolvendo retas e planos. Para resolver, vamos usar o conceito de paralelismo entre reta e plano e a forma vetorial/paramétrica da reta.

Passo 2

Para que uma reta seja paralela ao plano xOy, seu vetor diretor deve ser paralelo a esse plano. O plano xOy tem vetor normal (0,0,1). Uma reta é paralela ao plano quando seu vetor diretor é ortogonal ao normal desse plano. Calculamos o produto escalar:
(2,3,0)cdot(0,0,1)=2cdot0+3cdot0+0cdot1=0
Como o produto dá zero, vec v é ortogonal ao normal e logo paralelo ao plano xOy.

Passo 3

Agora que verificamos o paralelismo, vamos montar a equação vetorial da reta. A forma geral é
vec r(t)=vec a + t,vec v
onde vec a é o vetor posição do ponto inicial e t é o parâmetro. Substituindo vec a=(-1,2,4) e vec v=(2,3,0), temos
vec r(t)=(-1,2,4)+t(2,3,0)

Passo 4

Podemos também escrever em forma paramétrica separando as coordenadas. Da equação vetorial acima, obtemos:
x(t)=-1+2t, y(t)=2+3t, z(t)=4

Resposta

Equação vetorial: vec r(t)=(-1,2,4)+t(2,3,0). Equação paramétrica: x=-1+2t, y=2+3t, z=4

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