Dada a equação de Riccati \frac{d y}{d x}-y^{2}+2 x y-x^{2} determine:
a) Os valores das constantes A e B de tal modo que a função y_{p}(x)=A x+B seja solução particular;
b) A solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{d y}{d x} - y^{2} + 2 x\,y - x^{2} = 0
e pede:
a) encontrar constantes A e B tais que
y_{p}(x)=A x + B
seja solução particular;
b) obter a solução geral.
Para isso, vamos primeiro achar a reta que satisfaz a equação e depois usar a substituição típica de Riccati para resolver o caso geral.

Passo 2

Substituímos y_{p}(x)=A x + B na equação. Calculamos
y_{p}'(x)=A
e
y_{p}^{2} = (A x + B)^{2} = A^{2}x^{2} + 2A B\,x + B^{2}.
Então a equação fica
A - \bigl(A^{2}x^{2} + 2A B\,x + B^{2}\bigr) + 2x\,(A x + B) - x^{2} = 0.
Agrupando os termos em x^{2}, x e constantes:
\bigl(-A^{2} +2A -1\bigr)x^{2} + \bigl(-2A B +2B\bigr)x + (A - B^{2}) = 0.
Como isso deve valer para todo x, os coeficientes devem ser zero:
-A^{2} +2A -1 =0,\quad -2A B +2B =0,\quad A - B^{2}=0.
Da primeira equação vem
A^{2}-2A+1=0\;\Longrightarrow\;(A-1)^{2}=0\;\Longrightarrow\;A=1.
Substituindo A=1 na terceira equação:
1 - B^{2}=0\;\Longrightarrow\;B^{2}=1\;\Longrightarrow\;B=\pm 1.
A segunda condição -2A B +2B=2B(-A+1)=0 já é satisfeita por A=1 para qualquer B.
Logo, as soluções lineares particulares são
y_{p}(x)=x+1 \quad\text{ou}\quad y_{p}(x)=x-1.

Passo 3

Para achar a solução geral, fazemos a substituição típica de Riccati:
u(x) = y(x) - x.
Então
y = u + x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + 1.
Substituindo na equação original:
\frac{du}{dx} +1 \;-\;(u+x)^{2} +2x\,(u+x) - x^{2} =0.
Expandindo (u+x)^{2}=u^{2}+2u\,x + x^{2} e simplificando, todos os termos em x e x^{2} se cancelam, sobrando
\frac{du}{dx} +1 - u^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = u^{2} -1.
Esta é uma equação diferencial separável em u.

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
\int \frac{du}{u^{2}-1} = \int dx.
Sabemos que \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}-1} = \tfrac12\ln\bigl|\frac{u-1}{u+1}\bigr|. Assim,
\tfrac12\ln\Bigl|\frac{u-1}{u+1}\Bigr| = x + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{u-1}{u+1}\Bigr| = 2x + C_{1}.
Elevando exponencial,
\frac{u-1}{u+1} = K\,e^{2x},
onde K=e^{C_{1}} é constante de integração. Resolvendo para u:
u-1 = K\,e^{2x}(u+1) \quad\Longrightarrow\quad u\bigl(1 - K\,e^{2x}\bigr) = 1 + K\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad u(x) = \frac{1 + K\,e^{2x}}{1 - K\,e^{2x}}.
Voltando a y = u + x, obtemos a solução geral:
y(x) = x + \frac{1 + K\,e^{2x}}{1 - K\,e^{2x}},
onde K é constante arbitrária.

Resposta

a) A=1 e B=\pm 1, ou seja, as soluções particulares são y_{p}(x)=x+1 e y_{p}(x)=x-1.
b) A solução geral é
y(x) = x \;+\;\frac{1 + K\,e^{2x}}{1 - K\,e^{2x}},
com K constante de integração.

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