Dada a equação de Riccati \frac{d y}{d x}-y^{2}+2 x y-x^{2} determine:
a) Os valores das constantes A e B de tal modo que a função y_{p}(x)=A x+B seja solução particular;
b) A solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{d y}{d x} - y^{2} + 2 x\,y - x^{2} = 0
e pede:
a) encontrar constantes A e B tais que
y_{p}(x)=A x + B
seja solução particular;
b) obter a solução geral.
Para isso, vamos primeiro achar a reta que satisfaz a equação e depois usar a substituição típica de Riccati para resolver o caso geral.
Passo 2
Substituímos y_{p}(x)=A x + B na equação. Calculamos
y_{p}'(x)=A
e
y_{p}^{2} = (A x + B)^{2} = A^{2}x^{2} + 2A B\,x + B^{2}.
Então a equação fica
A - \bigl(A^{2}x^{2} + 2A B\,x + B^{2}\bigr) + 2x\,(A x + B) - x^{2} = 0.
Agrupando os termos em x^{2}, x e constantes:
\bigl(-A^{2} +2A -1\bigr)x^{2} + \bigl(-2A B +2B\bigr)x + (A - B^{2}) = 0.
Como isso deve valer para todo x, os coeficientes devem ser zero:
-A^{2} +2A -1 =0,\quad -2A B +2B =0,\quad A - B^{2}=0.