Resolva as equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}-x^{-1} y+y^{2} \operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} - x^{-1}y + y^{2}\sin(x) = 0.
Isso é uma equação de Bernoulli, pois pode ser posta no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com n=2. Vamos aplicar a técnica de Bernoulli.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, obtemos
\frac{dy}{dx} - x^{-1}y = -y^{2}\sin(x),
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P(x) = -x^{-1},\quad Q(x)=-\sin(x),\quad n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição
z = y^{1-n} = y^{-1}.
Então
\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Como \displaystyle \frac{dy}{dx}=x^{-1}y - y^{2}\sin(x), substituindo vemos que
\frac{dz}{dx} + x^{-1}z = \sin(x),
que é uma equação linear em z.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int x^{-1}dx} = x.
Multiplicando a equação por x vem
x\frac{dz}{dx} + z = x\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}(x\,z)=x\sin(x).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x\,z = \int x\sin(x)\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x\sin(x)\,dx com u=x, dv=\sin(x)dx, achamos
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x).
Logo
x\,z = -x\cos(x) + \sin(x) + C.

Passo 6

Desfazendo a substituição z=1/y, obtemos
\frac{1}{y} = -\cos(x) + \frac{\sin(x)}{x} + \frac{C}{x},
portanto
y(x) = \frac{1}{-\cos(x) + \tfrac{\sin(x)}{x} + \tfrac{C}{x}}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{-\cos(x) + \frac{\sin(x)}{x} + \frac{C}{x}},
onde C é a constante de integração.

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