Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Temos a equação diferencial
Este é um caso de equação de variáveis separáveis após a substituição apropriada. Para resolver, vamos:
- Fazer a mudança de variável
. - Escrever
em função de . - Separar variáveis e integrar.
Passo 2
Defina
Então
e, como
, segue
Passo 3
Separe as variáveis em
Note que
portanto a integral de
fica
Passo 4
Para calcular
,
faça , então
.
Observe que
faça
Observe que
Logo
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Voltando à separação,
dá
Multiplique por 2 e substitua
:
Reorganizando:
onde
é constante arbitrária.