Resolva as equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(x+y)

Passo 1

Temos a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \tan(x+y).
Este é um caso de equação de variáveis separáveis após a substituição apropriada. Para resolver, vamos:
  1. Fazer a mudança de variável u = x + y.
  2. Escrever \frac{du}{dx} em função de u.
  3. Separar variáveis e integrar.

Passo 2

Defina
u = x + y.
Então
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}
e, como \frac{dy}{dx} = \tan u, segue
\frac{du}{dx} = 1 + \tan u.

Passo 3

Separe as variáveis em
\frac{du}{1 + \tan u} = dx.
Note que
\frac{1}{1 + \tan u} = \frac{\cos u}{\sin u + \cos u},
portanto a integral de du/(1+\tan u) fica
\int \frac{du}{1+\tan u} = \int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u}\,du.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u}\,du,
faça w = \sin u + \cos u, então dw = (\cos u - \sin u)\,du.
Observe que
2\cos u\,du = (\cos u - \sin u)\,du + (\cos u + \sin u)\,du = dw + w\,du.
Logo
\int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u}\,du = \frac12\int\Bigl(\frac{dw}{w} + du\Bigr) = \frac12\bigl(\ln\lvert w\rvert + u\bigr) + C_1.
Substituindo w=\sin u+\cos u, obtemos
\int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u}\,du = \frac12\Bigl(u + \ln\lvert \sin u + \cos u\rvert\Bigr) + C_1.

Passo 5

Voltando à separação,
\int \frac{du}{1+\tan u} = \int dx
\frac12\Bigl(u + \ln\lvert \sin u + \cos u\rvert\Bigr) = x + C_1.
Multiplique por 2 e substitua u=x+y:
(x + y) + \ln\lvert \sin(x+y) + \cos(x+y)\rvert = 2x + C_2.
Reorganizando:
y - x + \ln\lvert \sin(x+y) + \cos(x+y)\rvert = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y - x + \ln\bigl\lvert \sin(x+y) + \cos(x+y)\bigr\rvert = C.

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