Dada a equação
e^2 x+3 y+z+6 x y z+(x-1)^2=2
Calcule o plano tangente no ponto (0,0,0)

Passo 1

A questão pede o plano tangente à superfície definida pela equação implícita
e^2x+3y+z+6xyz+(x-1)^2=2
no ponto (0,0,0). O conteúdo aqui é derivada parcial e plano tangente a uma superfície implícita, e vamos precisar calcular o gradiente de F e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=e^2x+3y+z+6xyz+(x-1)^2-2
de modo que a superfície é dada por F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:


Passo 4

Avaliamos as derivadas parciais em (0,0,0). Como e^0=1 e todos os produtos com x, y ou z viram zero, temos


Passo 5

Usamos a fórmula do plano tangente a F(x,y,z)=0:
Fx(x-x0)+Fy(y-y0)+Fz(z-z0)=0
Substituindo (x0,y0,z0)=(0,0,0) e os valores encontrados,
0,(x-0)+3,(y-0)+1,(z-0)=0
que reduz para
3y+z=0ou z=-3y

Resposta

O plano tangente no ponto (0,0,0) é dado por z=-3y.

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