Seja
Calcule as derivadas parciais de
no ponto
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Calcule as derivadas parciais de
Passo 1
No enunciado temos a função de duas variáveis
f(x,y)=e^{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} ,
e o objetivo é calcular as derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y no ponto (1,1). O conteúdo principal envolve a regra da cadeia e a derivada de uma raiz quadrada.
Passo 2
Para organizar a ideia, introduzimos duas funções auxiliares:
u(x,y)=4 - x^2 - y^2
g(x,y)=\sqrt{u(x,y)}
Assim podemos escrever f(x,y)=e^{g(x,y)}. A partir daí, vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: derivar f em relação a g e g em relação a x ou y.
Passo 3
Primeiro derivamos f em relação a g usando que a derivada de e^{g} é e^{g}:
Passo 4
Em seguida, derivamos g em relação a x. Como g(x,y)=\sqrt{u(x,y)} temos
g(x,y)=u(x,y)^{1/2},
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E como u(x,y)=4 - x^2 - y^2,
então
Passo 5
Substituindo essa expressão em ∂f/∂x, obtemos:
De forma análoga, ao derivar em relação a y, troca-se x por y no numerador:
Passo 6
Agora avaliamos em (x,y)=(1,1). Primeiro calculamos u(1,1)=4 - 1^2 - 1^2=2 e \sqrt{u(1,1)}=\sqrt{2}. Substituindo em ambas as derivadas: