Seja f(x, y)=e^raiz4-x^2-y^2
Calcule as derivadas parciais de f no ponto (1,1).

Passo 1

No enunciado temos a função de duas variáveis
f(x,y)=e^{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} ,
e o objetivo é calcular as derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y no ponto (1,1). O conteúdo principal envolve a regra da cadeia e a derivada de uma raiz quadrada.

Passo 2

Para organizar a ideia, introduzimos duas funções auxiliares:
u(x,y)=4 - x^2 - y^2
g(x,y)=\sqrt{u(x,y)}
Assim podemos escrever f(x,y)=e^{g(x,y)}. A partir daí, vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: derivar f em relação a g e g em relação a x ou y.

Passo 3

Primeiro derivamos f em relação a g usando que a derivada de e^{g} é e^{g}:
partial fpartial x=e^g(x,y)cdotpartial gpartial x

Passo 4

Em seguida, derivamos g em relação a x. Como g(x,y)=\sqrt{u(x,y)} temos
g(x,y)=u(x,y)^{1/2},
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partial gpartial x=12raizu(x,y)cdotpartial upartial x
E como u(x,y)=4 - x^2 - y^2,
partial upartial x=-2x,
então
partial gpartial x=-2x2raizu(x,y)=-xraizu(x,y)

Passo 5

Substituindo essa expressão em ∂f/∂x, obtemos:
partial fpartial x(x,y)=e^raizu(x,y)cdotl(-xraizu(x,y)r)=-xraizu(x,y),e^raizu(x,y)
De forma análoga, ao derivar em relação a y, troca-se x por y no numerador:
partial fpartial y(x,y)=-yraizu(x,y),e^raizu(x,y)

Passo 6

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1). Primeiro calculamos u(1,1)=4 - 1^2 - 1^2=2 e \sqrt{u(1,1)}=\sqrt{2}. Substituindo em ambas as derivadas:
partial fpartial x(1,1)=-1raiz2,e^raiz2,
partial fpartial y(1,1)=-1raiz2,e^raiz2

Resposta

partial fpartial x(1,1)=-e^raiz2raiz2 e partial fpartial y(1,1)=-e^raiz2raiz2.

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