Dada a equação (x+y)^2-(x-y)^2=x^4+y^4. Use a diferenciação implícita para achar uma equação da reta tangente à curva no ponto P(-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação (x + y)^2 - (x - y)^2 = x^4 + y^4. O objetivo é usar a diferenciação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto específico P(-1, 2). Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções implicitamente e aplicar isso para achar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Vamos expandir os termos (x + y)^2 e (x - y)^2:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
Subtraindo essas duas equações:
(x + y)^2 - (x - y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy
Então, a equação original simplifica para:
4xy = x^4 + y^4

Passo 3

Agora, vamos aplicar a diferenciação implícita nessa equação. Lembrando que y é uma função de x, então quando derivamos y, usamos a regra da cadeia ( dy/dx).
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(4xy) = ddx(x^4 + y^4)

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente. Para o lado esquerdo:
ddx(4xy) = 4 cdot ( x cdot dydx + y cdot 1 ) = 4x dydx + 4y
Para o lado direito:
ddx(x^4 + y^4) = 4x^3 + 4y^3 dydx
Então, temos:
4x dydx + 4y = 4x^3 + 4y^3 dydx

Passo 5

Agora, vamos isolar dydx. Primeiro, vamos levar todos os termos que contêm dydx para um lado e os demais para o outro:
4x dydx - 4y^3 dydx = 4x^3 - 4y
Fatorando dydx:
dydx (4x - 4y^3) = 4x^3 - 4y
Agora, dividimos ambos os lados por 4x - 4y^3:
dydx = 4x^3 - 4y4x - 4y^3 = x^3 - yx - y^3

Passo 6

Agora que temos a expressão para dydx, vamos calcular o valor da derivada no ponto P(-1, 2). Substituindo x = -1 e y = 2:
dydx|(-1,2) = (-1)^3 - 2-1 - (2)^3 = -1 - 2-1 - 8 = -3-9 = 13

Passo 7

Com a inclinação da reta tangente sendo 13 e passando pelo ponto (-1, 2), podemos usar a fórmula da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = 13, x0 = -1 e y0 = 2:
y - 2 = 13(x - (-1)) Rightarrow y - 2 = 13(x + 1)

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto P(-1, 2) é:
y - 2 = 13(x + 1)

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