Dada a equação . Use a diferenciação implícita para achar uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo é usar a diferenciação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções implicitamente e aplicar isso para achar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Vamos expandir os termos e :
Subtraindo essas duas equações:
Então, a equação original simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a diferenciação implícita nessa equação. Lembrando que é uma função de , então quando derivamos , usamos a regra da cadeia ().
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente. Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar . Primeiro, vamos levar todos os termos que contêm para um lado e os demais para o outro:
Fatorando :
Agora, dividimos ambos os lados por :
Passo 6
Agora que temos a expressão para , vamos calcular o valor da derivada no ponto . Substituindo e :
Passo 7
Com a inclinação da reta tangente sendo 13 e passando pelo ponto (-1, 2), podemos usar a fórmula da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = 13, x0 = -1 e y0 = 2:
y - 2 = 13(x - (-1)) Rightarrow y - 2 = 13(x + 1)
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto P(-1, 2) é: