Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=0^infty sen raizn^2+1n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série sumn=0^infty sin(raizn^2+1)n^2+1 converge ou diverge. Se der, a gente tenta encontrar a soma dela. Vamos precisar usar conceitos de testes de convergência de séries e entender um pouco sobre funções trigonométricas e séries p para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: sin(raizn^2+1)n^2+1. Sabemos que a função seno, sin(x), sempre fica entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(x) <= 1 para qualquer valor de x.

Passo 3

Isso significa que o numerador sin(raizn^2+1) está limitado entre -1 e 1. Então, o valor absoluto do termo geral fica:
| sin(raizn^2+1)n^2+1 | <= 1n^2+1

Passo 4

Agora, vamos comparar essa série com a série sumn=0^infty 1n^2+1. Essa é uma série do tipo série p, onde a soma geral é sum 1n^p e p = 2 nesse caso.

Passo 5

Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como p = 2 aqui, a série sumn=0^infty 1n^2+1 converge.

Passo 6

Então, pelo teste de comparação, já que o valor absoluto dos termos da nossa série original é menor ou igual aos termos de uma série convergente, a série original sumn=0^infty sin(raizn^2+1)n^2+1 também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=0^infty sin(raizn^2+1)n^2+1 é convergente.

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