Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série converge ou diverge. Se der, a gente tenta encontrar a soma dela. Vamos precisar usar conceitos de testes de convergência de séries e entender um pouco sobre funções trigonométricas e séries p para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que a função seno, , sempre fica entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de .
Passo 3
Isso significa que o numerador está limitado entre -1 e 1. Então, o valor absoluto do termo geral fica:
Passo 4
Agora, vamos comparar essa série com a série sumn=0^infty 1n^2+1. Essa é uma série do tipo série p, onde a soma geral é sum 1n^p e p = 2 nesse caso.
Passo 5
Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como p = 2 aqui, a série sumn=0^infty 1n^2+1 converge.
Passo 6
Então, pelo teste de comparação, já que o valor absoluto dos termos da nossa série original é menor ou igual aos termos de uma série convergente, a série original sumn=0^infty sin(raizn^2+1)n^2+1 também converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=0^infty sin(raizn^2+1)n^2+1 é convergente.