Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty n3^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita que é sumn=1^infty n3^n. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o teste da razão, que nos ajudam a determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge usando o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries onde os termos têm uma forma que envolve potências ou fatorial.
No Teste da Razão, a gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Aqui, nossos termos são an = n3^n. Vamos calcular an+1:
an+1 = n+13^n+1 = n+13 cdot 3^n = n+13 cdot 13^n
Agora, plugamos no teste da razão:
L = limn to infty | n+13^n+1n3^n | = limn to infty | n+13n | = limn to infty n+13n

Passo 4

Vamos simplificar o limite:
L = limn to infty n+13n = limn to infty 1 + 1n3 = 1 + 03 = 13
Como L = 13 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos tentar encontrar a soma dela. A série dada é:
sumn=1^infty n3^n = sumn=1^infty n ( 13 )^n
Essa é uma série conhecida como série geométrica com coeficiente linear. A fórmula para a soma dessa série é:
sumn=1^infty n r^n = r(1 - r)^2, onde |r| < 1
Aqui, r = 13, que satisfaz |r| < 1.

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula:
sumn=1^infty n3^n = 13(1 - 13)^2 = 13(23)^2 = 1349 = 13 times 94 = 34

Resposta

A série sumn=1^infty n3^n converge e a sua soma é 34.

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