Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma série infinita:
. A gente precisa descobrir se essa série converge (isto é, se ela soma para um número específico) ou diverge (não soma para nada). Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e propriedades da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que o cosseno de múltiplos de
tem um padrão interessante:
-
-
-
- E assim por diante.
Isso significa que
. Ou seja, o cosseno alterna entre 1 e -1 conforme o valor de
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na série original:
Isso fica mais simples de trabalhar.
Passo 4
Vamos multiplicar os termos
:
Então, a série agora fica:
Passo 5
Essa nova expressão
é conhecida como a série harmônica. A série harmônica é famosa por divergir, ou seja, a soma dos seus termos cresce sem limites e não se aproxima de um número finito.
Resposta
A série
é divergente.