Resolva a equação
x y^prime sin (yx)+x=y sin (yx)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y'(x),sinl(yxr)+x=y,sinl(yxr)
É um problema de equação de variáveis separáveis após reconhecer que é uma equação homogênea em y e x. Vamos usar a substituição clássica y=xv.

Passo 2

Começamos definindo v(x)=y(x)x. Assim temos
y = x,v, y'=v + x,dvdx
Substituindo na equação original:

Passo 3

xl(v + x,v'r)sin v + x = x vsin v
Observe que escrevemos v' = dv/dx.

Passo 4

Ao expandir e simplificar, o termo xvsin v aparece dos dois lados e se cancela, sobrando
x^2sin v,v' + x = 0

Passo 5

Isolamos v' e separamos as variáveis:
v' = dvdx = -xx^2sin v = -1xsin v
Logo
sin v,dv = -dxx

Passo 6

Agora integramos os dois lados:
integral sin v,dv = -integral dxx Longrightarrow -cos v = -ln|x| + C

Passo 7

Multiplicando por -1) e agrupando a constante em um só termo, obtemos a solução implícita:
cosl(yxr) = ln|x| + C1

Resposta

A solução geral implícita é
cosl(yxr)=ln|x|+C

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