Dada a equação y^2 z+ln (y)-2 x y z^2 onde z=f(x, y), determine as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y quando x=y=1 e z neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo z, que é uma função de x e y. O objetivo é encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y quando x=1, y=1 e z neq 0. Vamos precisar usar a derivada implícita e a regra da cadeia para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
y^2 z + ln(y) - 2x y z^2 = 0
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x, tratando z como uma função de x e y.

Passo 3

Aplicando a regra da derivada para cada termo:
  • A derivada de y^2 z em relação a x é y^2 partial zpartial x, porque y é tratado como constante em relação a x.
  • A derivada de ln(y) em relação a x é 0, já que y é constante quando derivamos em relação a x.
  • A derivada de -2x y z^2 em relação a x é -2y z^2 - 4x y z partial zpartial x. Aqui usamos a regra do produto e a cadeia.
Então, a equação derivada fica:
y^2 partial zpartial x - 2y z^2 - 4x y z partial zpartial x = 0

Passo 4

Vamos isolar partial zpartial x:
(y^2 - 4x y z) partial zpartial x = 2y z^2
partial zpartial x = 2y z^2y^2 - 4x y z

Passo 5

Agora, substituímos x=1, y=1 e precisamos encontrar o valor de z. Substituindo esses valores na equação original:
1^2 z + ln(1) - 2 cdot 1 cdot 1 cdot z^2 = 0
z - 2z^2 = 0
z(1 - 2z) = 0
Como z neq 0, temos 1 - 2z = 0, então z = 12.

Passo 6

Agora, substituímos x=1, y=1 e z=12 na expressão de partial zpartial x:
partial zpartial x = 2 cdot 1 cdot (12)^21^2 - 4 cdot 1 cdot 1 cdot 12
partial zpartial x = 2 cdot 141 - 2
partial zpartial x = 12-1
partial zpartial x = -12

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para partial zpartial y. Diferenciando a equação original em relação a y:
2y z + y^2 partial zpartial y + 1y - 2x z^2 - 4x y z partial zpartial y = 0
Isolando partial zpartial y:
(y^2 - 4x y z) partial zpartial y = -2y z - 1y + 2x z^2
partial zpartial y = -2y z - 1y + 2x z^2y^2 - 4x y z

Passo 8

Substituindo x=1, y=1 e z=12:
partial zpartial y = -2 cdot 1 cdot 12 - 1 + 2 cdot 1 cdot (12)^21^2 - 4 cdot 1 cdot 1 cdot 12
partial zpartial y = -1 - 1 + 121 - 2
partial zpartial y = -32-1
partial zpartial y = 32

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -12
partial zpartial y = 32

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