Dada a equação
onde
, determine as derivadas parciais
e
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo
, que é uma função de
e
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
quando
,
e
. Vamos precisar usar a derivada implícita e a regra da cadeia para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da derivada para cada termo:
- A derivada de
em relação a é , porque é tratado como constante em relação a . - A derivada de
em relação a é , já que é constante quando derivamos em relação a . - A derivada de
em relação a é . Aqui usamos a regra do produto e a cadeia.
Então, a equação derivada fica:
Passo 4
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e precisamos encontrar o valor de
. Substituindo esses valores na equação original:
Como
, temos
, então
.
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Isolando
:
Passo 8
Substituindo
,
e
:
Resposta
As derivadas parciais são: