Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio externo r+d r=r+t. © Suponha r=20 cm e t=1 cm e calcule o volume aproximado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio R é V=43 pi R^3 ).

Passo 1

O enunciado pede para usar diferenciais para aproximar o volume de borracha de uma casca esférica de raio interno r e raio externo r+dr = r + t. O conteúdo é a aplicação de diferenciais na função volume de uma esfera V(R)=tfrac43pi R^3, e vamos precisar da derivada V'(R) e de dV approx V'(r),dr.

Passo 2

A derivada de V(R) em relação a R é
V'(R)=ddRl(tfrac43pi R^3r)=4pi R^2

Passo 3

Como usamos diferenciais, a variação aproximada de volume ao aumentar o raio de r para r+t é
dVapprox V'(r),dr =4pi r^2,t

Passo 4

Substituindo r=20,cm e t=1,cm, temos
dVapprox 4pi,(20)^2,(1)=1600pi,cm^3

Passo 5

Para avaliar o erro dessa aproximação, calculemos o volume exato da casca:
De

Passo 6

O erro da aproximação é
erro=De

Resposta

Volume aproximado: 1600pi,cm^3 (aprox. 5026.5 cm³). Erro da aproximação: tfrac2443pi,cm^3 (aprox. 255.4 cm³).

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