Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola oca de espessura
, i.e., de raio interno
e raio externo
. © Suponha
e
e calcule o volume aproximado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio
é
).
Passo 1
O enunciado pede para usar diferenciais para aproximar o volume de borracha de uma casca esférica de raio interno
e raio externo
. O conteúdo é a aplicação de diferenciais na função volume de uma esfera
, e vamos precisar da derivada
e de
.
Passo 2
A derivada de
em relação a
é
Passo 3
Como usamos diferenciais, a variação aproximada de volume ao aumentar o raio de
para
é
Passo 4
Substituindo
e
, temos
Passo 5
Para avaliar o erro dessa aproximação, calculemos o volume exato da casca:
Passo 6
O erro da aproximação é
Resposta
Volume aproximado:
(aprox. 5026.5 cm³). Erro da aproximação:
(aprox. 255.4 cm³).