Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido interno à esfera x^2+y^2+ z^2=4 z e acima do cone x^2+y^2=z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $ e acima do cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis pra lidar com formas esféricas e cones. Vamos precisar entender como transformar as equações dadas para coordenadas esféricas e depois montar uma integral tripla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $. A gente pode completar o quadrado pra ver melhor:
x^2 + y^2 + z^2 = 4z
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada no ponto (0, 0, 2).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $. Em coordenadas esféricas, sabemos que:
x^2 + y^2 = z^2
Substituindo na equação do cone:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Então, o cone corresponde a $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

Passo 4

Agora, vamos transformar a equação da esfera para coordenadas esféricas. A esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $, que em coordenadas esféricas fica:
x^2 + y^2 + z^2 = 4z
Então, o raio $ \rho $ vai de 0 até $ 4\cos\phi $.

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (completando toda a volta ao redor do eixo z).
  • $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ (acima do cone).
  • $ \rho $ varia de 0 a $ 4\cos\phi $ (dentro da esfera).

Passo 6

A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^4cosphi rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho
Agora, a integral fica:
integral0^4cosphi rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^4cosphi = (4cosphi)^33 = 64 cos^3phi3

Passo 8

Vamos integrar em relação a $ \phi $:
Primeiro, simplificamos a constante:
phi
Fazemos uma substituição: $ u = \cos\phi $, então $ du = -\sin\phi , d\phi $. Quando $ \phi = 0 $, $ u = 1 $; quando $ \phi = \frac{\pi}{4} $, $ u = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Substituindo:
643 integral0^2pi integral0^pi4 cos^3phi sinphi , dphi , dtheta
Integrando $ u^{3} $:
u = cosphi
Calculando $ (\frac{\sqrt{2}}{2})^{4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $:
du = -sinphi , dphi

Resposta

O volume do sólido é $ 16\pi $ unidades cúbicas.

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