Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido interno à esfera
e acima do cone
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $ e acima do cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis pra lidar com formas esféricas e cones. Vamos precisar entender como transformar as equações dadas para coordenadas esféricas e depois montar uma integral tripla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $. A gente pode completar o quadrado pra ver melhor:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada no ponto (0, 0, 2).
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $. Em coordenadas esféricas, sabemos que:
Substituindo na equação do cone:
Então, o cone corresponde a $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação da esfera para coordenadas esféricas. A esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4z $, que em coordenadas esféricas fica:
Então, o raio $ \rho $ vai de 0 até $ 4\cos\phi $.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração:
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (completando toda a volta ao redor do eixo z).
- $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ (acima do cone).
- $ \rho $ varia de 0 a $ 4\cos\phi $ (dentro da esfera).
Passo 6
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar em relação a $ \phi $:
Primeiro, simplificamos a constante:
Fazemos uma substituição: $ u = \cos\phi $, então $ du = -\sin\phi , d\phi $. Quando $ \phi = 0 $, $ u = 1 $; quando $ \phi = \frac{\pi}{4} $, $ u = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Substituindo:
Integrando $ u^{3} $:
Calculando $ (\frac{\sqrt{2}}{2})^{4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $:
Resposta
O volume do sólido é $ 16\pi $ unidades cúbicas.