Por meio de diferenciais, calcule a área de um anel de espessura t, i.e., um anel de raio interno r e raio externo r+d r=r+t. Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproximada no lugar da exata?

Passo 1

O enunciado pede a área de um anel de raio interno r e espessura t, ou seja, raio externo r + dr = r + t. O conteúdo é o uso de diferenciais para aproximar a variação de área de um círculo.

Passo 2

A área de um círculo de raio r é A = pi r^2. Diferenciando em relação a r e usando dr = t obtemos a variação aproximada de área:
dA = ddr(pi r^2),dr = 2pi r,dr = 2pi r t
Essa dA é a área aproximada do anel. Agora vamos à área exata, que é a diferença entre as áreas dos círculos de raios r+t e r:
Aexato = pi (r + t)^2 - pi r^2 = pil(r^2 + 2rt + t^2 - r^2r) = 2pi r t + pi t^2

Passo 3

O erro absoluto ao usar a fórmula aproximada em vez da exata é a diferença entre Aexato e dA:
De

Resposta

O erro absoluto resultante é pi t^2.

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