Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
4 x^{2}-9 y^{2}=17

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
4x^{2}-9y^{2}=17
e pede para determinar \frac{d y}{d x}, ou seja, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes: a equação relaciona x e y implicitamente; não temos y isolado. O objetivo é encontrar a expressão de \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes de aplicar, lembra de duas regras importantes:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • Quando derivamos uma expressão que envolve y (uma função de x) precisamos usar a regra da cadeia: se temos y^{2}, a derivada em relação a x é a derivada de y^{2} em relação a y vezes a derivada de y em relação a x. A derivada de y^{2} em relação a y é 2y, então em relação a x fica 2y\cdot \dfrac{d y}{d x}.

Passo 3

Aplicando a diferenciação termo a termo em relação a x:
  • Diferenciando \\ 4x^{2} em relação a x: a constante 4 sai multiplicando e \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, então obtemos 4\cdot 2x=8x.
  • Diferenciando -9y^{2} em relação a x: a constante -9 sai multiplicando e pela regra da cadeia \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot \dfrac{d y}{d x}, então obtemos -9\cdot 2y\cdot \dfrac{d y}{d x}=-18y\cdot \dfrac{d y}{d x}.
  • Diferenciando o lado direito 17 0.
Portanto a diferenciação dá a equação
8x-18y\cdot \frac{d y}{d x}=0.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{d y}{d x}. Da equação
8x-18y\cdot \frac{d y}{d x}=0
passamos 8x para o outro lado:
-18y\cdot \frac{d y}{d x}=-8x.
Dividindo ambos os lados por -18y (assumindo y\neq 0) obtemos
\frac{d y}{d x}=\frac{-8x}{-18y}.

Passo 5

Simplificamos a fração \dfrac{-8x}{-18y}. Os sinais negativos se cancelam e \dfrac{8}{18}=\dfrac{4}{9}. Assim chegamos à expressão final:
\frac{d y}{d x}=\frac{4x}{9y}.

Passo 6

Observações práticas e intuição para a prova:
  • A fórmula \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{4x}{9y} vale nos pontos da curva onde y\neq 0. Se em algum ponto y=0 (o que ocorre quando 4x^{2}=17), a expressão acima fica indefinida: isso indica que a tangente é vertical nesses pontos (derivada infinita).
  • Exemplo numérico rápido para sentir a fórmula: escolha x=\dfrac{5}{2}. Da equação original 4x^{2}=25 então 9y^{2}=25-17=8 e y=\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3}. Para o ponto com y=+\dfrac{2\sqrt{2}}{3} temos
\frac{d y}{d x}=\frac{4x}{9y}=\frac{4\cdot \tfrac{5}{2}}{9\cdot \tfrac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{5}{3\sqrt{2}}.
  • Dica de prova: quando aparecer y dentro de uma expressão, sempre lembre da regra da cadeia e multiplique por \dfrac{d y}{d x}. Respira fundo, passa termo a termo e isola \dfrac{d y}{d x}.

Resposta

\displaystyle \frac{4x}{9y}

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