Dada as equações, determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes: a equação relaciona e
implicitamente; não temos
isolado. O objetivo é encontrar a expressão de
em termos de
e
.
Informações relevantes: a equação relaciona
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes de aplicar, lembra de duas regras importantes:
- A derivada de uma constante é
. - Quando derivamos uma expressão que envolve
(uma função de ) precisamos usar a regra da cadeia: se temos , a derivada em relação a é a derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a . A derivada de em relação a é , então em relação a fica .
Passo 3
Aplicando a diferenciação termo a termo em relação a
:
- Diferenciando
em relação a : a constante sai multiplicando e , então obtemos . - Diferenciando
em relação a : a constante sai multiplicando e pela regra da cadeia , então obtemos . - Diferenciando o lado direito
dá .
Portanto a diferenciação dá a equação
Passo 4
Agora isolamos
. Da equação
passamos
para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Passo 5
Simplificamos a fração
. Os sinais negativos se cancelam e
. Assim chegamos à expressão final:
Passo 6
Observações práticas e intuição para a prova:
- A fórmula
vale nos pontos da curva onde . Se em algum ponto (o que ocorre quando ), a expressão acima fica indefinida: isso indica que a tangente é vertical nesses pontos (derivada infinita). - Exemplo numérico rápido para sentir a fórmula: escolha
. Da equação original então e . Para o ponto com temos
- Dica de prova: quando aparecer
dentro de uma expressão, sempre lembre da regra da cadeia e multiplique por . Respira fundo, passa termo a termo e isola .