Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
\cos (x+y)+\operatorname{sen}(x+y)=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y:
\cos(x+y)+\operatorname{sen}(x+y)=\frac{1}{3}.
A pergunta é: determinar \dfrac{dy}{dx}, a derivada de y em relação a x, para os pontos (x,y) que satisfazem essa equação. Observação: vou usar a notação usual \sin para \operatorname{sen}, isto é, interpretar \operatorname{sen}(x+y)=\sin(x+y).

Passo 2

Vamos pensar como diferenciar uma expressão do tipo \cos(u)+\sin(u) quando u depende de x. É mais claro introduzir a função auxiliar
u(x)=x+y(x).
Aqui u depende de x porque y depende de x. Pela regra da soma de derivadas, a derivada de u é
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y)=1+\frac{dy}{dx}.
Vou chamar \dfrac{dy}{dx} de y' para simplificar a notação; portanto \dfrac{du}{dx}=1+y'.

Passo 3

Agora vamos aplicar a diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em relação a x. A derivada do lado direito \dfrac{1}{3} é zero (constante). No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' e a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Assim
\frac{d}{dx}\big(\cos(u)+\sin(u)\big)=\big(-\sin(u)+\cos(u)\big)\frac{du}{dx}.
Igualando ao lado direito (zero) obtemos
\big(-\sin(u)+\cos(u)\big)\frac{du}{dx}=0.

Passo 4

Substituímos \dfrac{du}{dx}=1+y' na igualdade:
\big(-\sin(u)+\cos(u)\big)(1+y')=0.
Isso significa que o produto de dois fatores é zero, então pelo princípio do produto já sabemos que pelo menos um dos fatores deve ser zero:
\text{ou } (1+y')=0 \quad\text{ou}\quad -\sin(u)+\cos(u)=0.
Se 1+y'=0 então y'=-1. Se -\sin(u)+\cos(u)=0 então \cos(u)=\sin(u).

Passo 5

Agora precisamos ver se a segunda possibilidade ( \cos(u)=\sin(u)) pode ocorrer para pontos que satisfazem a equação original \cos(u)+\sin(u)=\tfrac{1}{3}. Se \cos(u)=\sin(u) então substituindo na soma temos
\cos(u)+\sin(u)=2\cos(u).
Além disso, se \cos(u)=\sin(u) então \cos^2(u)+\sin^2(u)=1 implica 2\cos^2(u)=1, ou seja \cos(u)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. Portanto 2\cos(u)=\pm\sqrt{2}, e os possíveis valores de \cos(u)+\sin(u) nessa situação são \pm\sqrt{2}. Como \pm\sqrt{2} não é igual a \tfrac{1}{3}, concluímos que não existe ponto (x,y) na curva dada em que \cos(u)=\sin(u). Em outras palavras, o fator -\sin(u)+\cos(u) nunca é zero para pontos que satisfazem a equação original.

Passo 6

Como o segundo fator não pode ser zero nos pontos da curva, o único fator que pode ser zero é 1+y'. Logo necessariamente
1+y'=0\quad\Rightarrow\quad y'=-1
para todos os pontos (x,y) que satisfazem \cos(x+y)+\sin(x+y)=\tfrac{1}{3}. Em palavras: a derivada existe e é igual a -1 em toda a curva definida por essa equação.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1

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