Dada as equações, determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
A pergunta é: determinar
, a derivada de
em relação a
, para os pontos
que satisfazem essa equação. Observação: vou usar a notação usual
para
, isto é, interpretar
.
Passo 2
Vamos pensar como diferenciar uma expressão do tipo
quando
depende de
. É mais claro introduzir a função auxiliar
Aqui
depende de
porque
depende de
. Pela regra da soma de derivadas, a derivada de
é
Vou chamar
de
para simplificar a notação; portanto
.
Passo 3
Agora vamos aplicar a diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em relação a
. A derivada do lado direito
é zero (constante). No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim
Igualando ao lado direito (zero) obtemos
Passo 4
Substituímos
na igualdade:
Isso significa que o produto de dois fatores é zero, então pelo princípio do produto já sabemos que pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Se
então
. Se
então
.
Passo 5
Agora precisamos ver se a segunda possibilidade (
) pode ocorrer para pontos que satisfazem a equação original
. Se
então substituindo na soma temos
Além disso, se
então
implica
, ou seja
. Portanto
, e os possíveis valores de
nessa situação são
. Como
não é igual a
, concluímos que não existe ponto
na curva dada em que
. Em outras palavras, o fator
nunca é zero para pontos que satisfazem a equação original.
Passo 6
Como o segundo fator não pode ser zero nos pontos da curva, o único fator que pode ser zero é
. Logo necessariamente
para todos os pontos
que satisfazem
. Em palavras: a derivada existe e é igual a
em toda a curva definida por essa equação.