Dada as equações, determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes: a igualdade afirma que a função aplicada a
é igual à constante
. Não há outros dados numéricos ou condições explícitas.
Informações relevantes: a igualdade afirma que a função
Passo 2
Primeira ideia (explicação didática). Quando temos uma igualdade envolvendo
e
e
depende de
, usamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Vou lembrar duas fórmulas que vamos usar:
onde
e
significa
. Explico: a derivada da tangente de uma função é o quadrado da secante dessa função vezes a derivada interna (isso é a regra da cadeia).
porque a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 3
Agora aplico a diferenciação implícita à equação dada. Derivando ambos os lados de
em relação a
e usando a regra da cadeia temos:
A derivada da constante
é
, então:
Passo 4
Justificativa para poder dividir:
nunca é zero (a secante ao quadrado é sempre positiva onde definida). Além disso, se
então
não é um ponto onde
(porque nesses pontos
não está definida), logo
é um número finito e estritamente positivo. Portanto podemos dividir ambos os lados da igualdade por
sem problema. Assim obtemos:
Passo 5
Isolando
na equação anterior:
Interpretação rápida e intuitiva: a condição
força
a ser (localmente) uma constante; derivando
dá
, daí
. Isso mostra que a derivada é constante e independente de
.