Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
\operatorname{tg}(x+y)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação \operatorname{tg}(x+y)=4 e pede para determinar \frac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes: a igualdade afirma que a função \operatorname{tg} aplicada a (x+y) é igual à constante 4. Não há outros dados numéricos ou condições explícitas.

Passo 2

Primeira ideia (explicação didática). Quando temos uma igualdade envolvendo x e y e y depende de x, usamos diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Vou lembrar duas fórmulas que vamos usar:
\text{a)}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\tan(u(x))\bigr)=\operatorname{sec}^2(u(x))\cdot u'(x),
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)} e \operatorname{sec}^2(u) significa (\operatorname{sec}(u))^2. Explico: a derivada da tangente de uma função é o quadrado da secante dessa função vezes a derivada interna (isso é a regra da cadeia).
\text{b)}\quad \frac{d}{dx}\bigl(x+y(x)\bigr)=1+\frac{dy}{dx},
porque a derivada de x é 1 e a derivada de y(x) é \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora aplico a diferenciação implícita à equação dada. Derivando ambos os lados de \operatorname{tg}(x+y)=4 em relação a x e usando a regra da cadeia temos:
\operatorname{sec}^2(x+y)\cdot\left(1+\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(4).
A derivada da constante 4 é 0, então:
\operatorname{sec}^2(x+y)\cdot\left(1+\frac{dy}{dx}\right)=0.

Passo 4

Justificativa para poder dividir: \operatorname{sec}^2(x+y) nunca é zero (a secante ao quadrado é sempre positiva onde definida). Além disso, se \tan(x+y)=4 então x+y não é um ponto onde \cos(x+y)=0 (porque nesses pontos \tan não está definida), logo \operatorname{sec}^2(x+y) é um número finito e estritamente positivo. Portanto podemos dividir ambos os lados da igualdade por \operatorname{sec}^2(x+y) sem problema. Assim obtemos:
1+\frac{dy}{dx}=0.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação anterior:
\frac{dy}{dx}=-1.
Interpretação rápida e intuitiva: a condição \tan(x+y)=4 força x+y a ser (localmente) uma constante; derivando x+y 1+\dfrac{dy}{dx}=0, daí \dfrac{dy}{dx}=-1. Isso mostra que a derivada é constante e independente de x.

Resposta

-1

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