Dada as equações, determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre
e
e pede para determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.\
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Temos uma igualdade que envolve
e misturados numa fração.\ - Assume-se que
é função de (isto é, ), então ao derivar termos com usaremos .\ - A tarefa é achar uma expressão que dê
em termos de e .
Passo 2
Primeiro passo prático: eliminar a fração para ter uma equação mais simples de derivar. Multiplicamos ambos os lados por
. Isso é permitido desde que
(o que ocorre exceto no ponto
). Multiplicando:
Explicação didática: é mais fácil diferenciar uma soma ou produto do que usar a regra do quociente, então limpar o denominador geralmente simplifica. Aqui apenas aplicamos a propriedade básica das equações: se
então
.
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se das regras usadas:
- Derivada de
em relação a é . Logo derivada de é .\ - Derivada de
em relação a é , que vou escrever como para simplificar a escrita. Assim derivada de é .\ - Do lado direito temos
vezes . A constante sai da derivada e derivamos termo a termo: derivada de é ; derivada de usa a regra da cadeia: derivada de é porque depende de .
Derivando ambos os lados obtemos:
Passo 4
Calculemos as derivadas explicitamente:
Aqui usei: derivada de
é
e derivada de
é
por causa da regra da cadeia (dado que
é função de
).
Portanto a igualdade das derivadas é
Passo 5
Agora isolamos
. Agrupamos os termos que contêm
num mesmo lado e os termos sem
no outro:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Explicação: quando temos
, podemos fatorar
. Aqui
e
.
Passo 6
Finalmente dividimos ambos os lados por
(atenção: isso exige
, ou seja
; nesses pontos a derivada não pode ser obtida por essa fórmula):
Podemos simplificar fatorando
no numerador e
no denominador:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é apenas uma versão mais compacta.