Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
\frac{2 x+3 y}{x^{2}+y^{2}}=9

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre x e y
\frac{2x+3y}{x^{2}+y^{2}} = 9
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x.\
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos uma igualdade que envolve x e y misturados numa fração.\
  • Assume-se que y é função de x (isto é, y=y(x)), então ao derivar termos com y usaremos \dfrac{dy}{dx}.\
  • A tarefa é achar uma expressão que dê \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar a fração para ter uma equação mais simples de derivar. Multiplicamos ambos os lados por x^{2}+y^{2}. Isso é permitido desde que x^{2}+y^{2}\neq 0 (o que ocorre exceto no ponto x=0,y=0). Multiplicando:
2x+3y = 9\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Explicação didática: é mais fácil diferenciar uma soma ou produto do que usar a regra do quociente, então limpar o denominador geralmente simplifica. Aqui apenas aplicamos a propriedade básica das equações: se A/B = C então A = C\cdot B.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se das regras usadas:
  • Derivada de x em relação a x é 1. Logo derivada de 2x é 2.\
  • Derivada de y em relação a x é \dfrac{dy}{dx}, que vou escrever como y' para simplificar a escrita. Assim derivada de 3y é 3y'.\
  • Do lado direito temos 9 vezes x^{2}+y^{2}. A constante 9 sai da derivada e derivamos x^{2}+y^{2} termo a termo: derivada de x^{2} é 2x; derivada de y^{2} usa a regra da cadeia: derivada de y^{2} é 2y\cdot y' porque y depende de x.
Derivando ambos os lados obtemos:
\frac{d}{dx}(2x+3y) = \frac{d}{dx}\bigl(9(x^{2}+y^{2})\bigr).

Passo 4

Calculemos as derivadas explicitamente:
\text{esquerda: } \frac{d}{dx}(2x+3y) = 2 + 3y'.
\text{direita: } \frac{d}{dx}\bigl(9(x^{2}+y^{2})\bigr) = 9\bigl(2x + 2y\,y'\bigr) = 18x + 18y\,y'.
Aqui usei: derivada de x^{2} é 2x e derivada de y^{2} é 2y\cdot y' por causa da regra da cadeia (dado que y é função de x).
Portanto a igualdade das derivadas é
2 + 3y' = 18x + 18y\,y'.

Passo 5

Agora isolamos y'. Agrupamos os termos que contêm y' num mesmo lado e os termos sem y' no outro:
3y' - 18y\,y' = 18x - 2.
Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'(3 - 18y) = 18x - 2.
Explicação: quando temos a y' + b y' = (a+b) y', podemos fatorar y'. Aqui a=3 e b=-18y.

Passo 6

Finalmente dividimos ambos os lados por 3 - 18y (atenção: isso exige 3 - 18y \neq 0, ou seja y \neq \tfrac{1}{6}; nesses pontos a derivada não pode ser obtida por essa fórmula):
y' = \frac{18x - 2}{3 - 18y}.
Podemos simplificar fatorando 2 no numerador e 3 no denominador:
y' = \frac{2(9x - 1)}{3(1 - 6y)} = \frac{2}{3}\cdot\frac{9x - 1}{1 - 6y}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é apenas uma versão mais compacta.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{18x-2}{3-18y}

Exercícios relacionados