Nos Problemas 23-28, encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
{\left(1+x^{4}\right) d y+x\left(1+4 y^{2}\right) d x=0, y(1)=0}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
(1+x^{4})\,dy + x(1+4y^{2})\,dx = 0,\qquad y(1)=0.
O que se pede: encontrar uma solução explícita y=y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
(1+x^{4})\,dy + x(1+4y^{2})\,dx = 0
e
y(1)=0.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots para identificar o tipo de equação. Dividindo ambos os lados por dx e por (1+x^{4}) (que é sempre positivo para x real), obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{x(1+4y^{2})}{1+x^{4}}.
Observe que o lado direito é um produto de uma função de x pelo fator (1+4y^{2}), portanto a equação é separável: podemos colocar termos em y de um lado e termos em x do outro.

Passo 3

Separe as variáveis colocando tudo que envolve y à esquerda e tudo que envolve x à direita:
\frac{dy}{1+4y^{2}} = -\frac{x\,dx}{1+x^{4}}.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Integramos o lado esquerdo. Para isso uso a substituição u=2y. Então du=2\,dy ou dy=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{dy}{1+4y^{2}} = \int \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int\frac{du}{1+u^{2}}.
A integral conhecida \int \dfrac{du}{1+u^{2}}=\arctan(u). Logo
\int \frac{dy}{1+4y^{2}} = \frac{1}{2}\arctan(u) + C = \frac{1}{2}\arctan(2y) + C.

Passo 5

Integramos o lado direito. Faço a substituição t=x^{2}. Então dt=2x\,dx ou x\,dx=\dfrac{dt}{2}. Assim
\int -\frac{x\,dx}{1+x^{4}} = -\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^{2}}.
Novamente \int \dfrac{dt}{1+t^{2}}=\arctan(t). Portanto
\int -\frac{x\,dx}{1+x^{4}} = -\frac{1}{2}\arctan(t) + C = -\frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C.

Passo 6

Igualando as duas primitivas (esquecendo constantes por enquanto) obtemos
\frac{1}{2}\arctan(2y) = -\frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C.
Multiplicando por 2 e reunindo termos, podemos escrever de modo mais simples
\arctan(2y) + \arctan(x^{2}) = C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C_{1}. Substituindo x=1 e y=0 na relação acima:
\arctan(2\cdot 0) + \arctan(1^{2}) = C_{1}.
Como \arctan(0)=0 e \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}, obtemos
C_{1} = \frac{\pi}{4}.
Logo a relação entre y e x é
\arctan(2y) = \frac{\pi}{4} - \arctan(x^{2}).

Passo 8

Agora isolamos y. Tomamos a tangente em ambos os lados. Usamos a fórmula da tangente da diferença:
\tan(A-B)=\frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A\,\tan B}.
Colocando A=\dfrac{\pi}{4} (logo \tan A=1) e B=\arctan(x^{2}) (logo \tan B=x^{2}), obtemos
\tan\!\bigg(\frac{\pi}{4}-\arctan(x^{2})\bigg)=\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}.
Como \tan(\arctan(2y))=2y, da equação \arctan(2y)=\dfrac{\pi}{4}-\arctan(x^{2}) segue
2y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}.
Portanto isolando y,
y = \frac{1 - x^{2}}{2(1 + x^{2})}.
Essa é a solução explícita que satisfaz a condição inicial. (Note que o denominador 1+x^{2} nunca é zero para x real, então a expressão está bem definida para todo x real.)

Resposta

y(x)=\frac{1-x^{2}}{2(1+x^{2})}

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