Nos Problemas 23-28, encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar uma solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
e
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma
para identificar o tipo de equação. Dividindo ambos os lados por
e por
(que é sempre positivo para
real), obtemos
Observe que o lado direito é um produto de uma função de
pelo fator
, portanto a equação é separável: podemos colocar termos em
de um lado e termos em
do outro.
Passo 3
Separe as variáveis colocando tudo que envolve
à esquerda e tudo que envolve
à direita:
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Integramos o lado esquerdo. Para isso uso a substituição
. Então
ou
. Assim
A integral conhecida
. Logo
Passo 5
Integramos o lado direito. Faço a substituição
. Então
ou
. Assim
Novamente
. Portanto
Passo 6
Igualando as duas primitivas (esquecendo constantes por enquanto) obtemos
Multiplicando por
e reunindo termos, podemos escrever de modo mais simples
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na relação acima:
Como
e
, obtemos
Logo a relação entre
e
é
Passo 8
Agora isolamos
. Tomamos a tangente em ambos os lados. Usamos a fórmula da tangente da diferença:
Colocando
(logo
) e
(logo
), obtemos
Como
, da equação
segue
Portanto isolando
,
Essa é a solução explícita que satisfaz a condição inicial. (Note que o denominador
nunca é zero para
real, então a expressão está bem definida para todo
real.)