Dada as equações de Maxwell no vácuo e com os campos descritos pelas equaçōes abaixo:
\begin{aligned} \vec{E} & =E(x, t) \hat{y} \\\ \vec{B} & =B(x, t) \hat{z} \end{aligned}
Demonstre que o Campo Elétrico deve descrever uma função de onda.
Dado: Uma funçāo onda F(x, t) deve seguir a equaçāo:
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}=\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}

Passo 1

O enunciado dá os campos no vácuo
\vec{E}(x,t)=E(x,t)\,\hat{y}, \qquad \vec{B}(x,t)=B(x,t)\,\hat{z}
e pede para mostrar que E(x,t) satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=0,
sabendo que em vácuo v=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}. Para isso vamos usar as duas equações de Maxwell relevantes no vácuo:
\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Passo 2

Calculemos \nabla\times\vec{E}. Como \vec{E}=E(x,t)\,\hat y depende só de x,
\nabla\times\vec{E} =\bigl(0,0,\frac{\partial E}{\partial x}\bigr).
Pela lei de Faraday
(0,0,\tfrac{\partial E}{\partial x}) =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} =-\bigl(0,0,\tfrac{\partial B}{\partial t}\bigr),
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\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}.

Passo 3

Agora calculemos \nabla\times\vec{B}. Como \vec{B}=B(x,t)\,\hat z
\label{amp} \nabla\times\vec{B} =\bigl(0,-\frac{\partial B}{\partial x},0\bigr).
Pela lei de Ampère-Maxwell
\bigl(0,-\tfrac{\partial B}{\partial x},0\bigr) =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\bigl(0,\tfrac{\partial E}{\partial t},0\bigr),
daí
\frac{\partial B}{\partial x} =-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial E}{\partial t}.

Passo 4

Para obter a equação de onda em E, diferencie \partial E/\partial x=-\partial B/\partial t em relação a x:
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial B}{\partial t}\Bigr) =-\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\partial B}{\partial x}\Bigr).
Usando \partial B/\partial x=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\partial E/\partial t, vem
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\tfrac{\partial E}{\partial t}\bigr) =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}.
Rearranjando,
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} -\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=0,
que é exatamente a equação de onda com
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.

Resposta

Fica demonstrado que
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} -\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=0, \quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}},
ou seja, E(x,t) satisfaz a equação de onda no vácuo.

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