Projete um corpo para cima e meça o tempo entre duas passagens pela linha horizontal A: T_{A}. Meça também o tempo entre duas passagens por uma segunda linha B, a altura h acima de A: T_{B}. Sob aceleração constante, mostre que
g=\frac{8 h}{T_{A}^{2}-T_{B}^{2}} .

Passo a passo (guiado)

(a) Escreva y(t)=y_{0}+v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} e defina as linhas y=\mathrm{A} e y=\mathrm{A}+h.
(b) Para cada linha, resolva a equação quadrática y(t)= const e obtenha as duas raízes t_{1}, t_{2}; use T=t_{2}-t_{1}.
(c) Elimine v_{0} e y_{0} combinando as expressões para A e B , isolando g em termos de h, T_{A}, T_{B}.
(d) Dica: use soma e diferença das raízes e a relação \left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}^{\prime}-t_{2}^{\prime}\right)^{2}= 4 t_{1} t_{2}-4 t_{1}^{\prime} t_{2}^{\prime} quando útil.

Passo 1

O enunciado trata do movimento vertical de um projétil sob aceleração constante g. A posição vertical é
y(t)=y_{0}+v_{0}t-\tfrac12\,g\,t^{2}.
As duas linhas horizontais são y=\mathrm{A} e y=\mathrm{A}+h. Para simplificar, introduzimos a coordenada y'=y-\mathrm{A}, de modo que a linha A fica em y'=0 e a linha B em y'=h. Definimos y_{0}'=y_{0}-\mathrm{A}. Precisamos achar os instantes de passagem em cada linha, extrair o intervalo T=t_{2}-t_{1} e eliminar y_{0}' e v_{0} para obter g em termos de h, T_{A} e T_{B}.

Passo 2

Para a linha A y'=0 a equação do movimento vira
y_{0}'+v_{0}t-\tfrac12\,g\,t^{2}=0
que reescrevemos como
\tfrac12\,g\,t^{2}-v_{0}t-y_{0}'=0.
Sejam t_{1} e t_{2} as raízes dessa equação. Pelas fórmulas de soma e produto de raízes:
t_{1}+t_{2}=\frac{v_{0}}{\tfrac12\,g}=\frac{2v_{0}}{g}, \qquad t_{1}t_{2}=\frac{-y_{0}'}{\tfrac12\,g}=-\frac{2y_{0}'}{g}.
O intervalo entre as passagens é T_{A}=t_{2}-t_{1}, e
T_{A}^{2}=(t_{2}-t_{1})^{2}=(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2} =\Bigl(\tfrac{2v_{0}}{g}\Bigr)^{2}-4\Bigl(-\tfrac{2y_{0}'}{g}\Bigr) =\frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}}+\frac{8y_{0}'}{g}.

Passo 3

Para a linha B y'=h a equação é
y_{0}'+v_{0}t-\tfrac12\,g\,t^{2}=h \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,g\,t^{2}-v_{0}t-(y_{0}'-h)=0.
Chamando as raízes de t_{1}' e t_{2}', temos
t_{1}'+t_{2}'=\frac{2v_{0}}{g}, \qquad t_{1}'t_{2}'=-\frac{2(y_{0}'-h)}{g}.
O intervalo T_{B}=t_{2}'-t_{1}' satisfaz
T_{B}^{2}=(t_{1}'+t_{2}')^{2}-4t_{1}'t_{2}' =\frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}}+\frac{8(y_{0}'-h)}{g}.

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:
T_{A}^{2}-T_{B}^{2} =\Bigl(\frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}}+\frac{8y_{0}'}{g}\Bigr) -\Bigl(\frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}}+\frac{8(y_{0}'-h)}{g}\Bigr) =\frac{8h}{g}.
Isolando g vem
g=\frac{8h}{T_{A}^{2}-T_{B}^{2}}.

Resposta

g=\frac{8\,h}{T_{A}^{2}-T_{B}^{2}}.

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