Mostre que a função de onda abaixo é solução da equaçăo de onda obtida na questāo 1.
E(x, t)=E_{0} \cos (k x-\omega t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a onda unidimensional
E(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)
satisfaz a equação de onda obtida na Questão 1, que é
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\;\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}.
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de E(x,t) em relação a x e a t.

Passo 2

Defina \theta=kx-\omega t. Como E(x,t)=E_{0}\cos(\theta), ao derivar em x temos
\frac{\partial\theta}{\partial x}=k \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial E}{\partial x} =-E_{0}\,k\,\sin(\theta).
Derivando novamente em x:
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =-E_{0}\,k^{2}\cos(\theta) =-k^{2}\,E(x,t).

Passo 3

Agora derive em t. Como
\frac{\partial\theta}{\partial t}=-\omega,
temos
\frac{\partial E}{\partial t} =-E_{0}\,\bigl(-\omega\bigr)\sin(\theta) =E_{0}\,\omega\,\sin(\theta),
e em seguida
\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =E_{0}\,\omega\,\frac{d}{dt}\bigl[\sin(\theta)\bigr] =E_{0}\,\omega\,\cos(\theta)\,(-\omega) =-\omega^{2}\,E(x,t).

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação de onda:
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =-k^{2}E, \quad \frac{1}{v^{2}}\;\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =-\frac{\omega^{2}}{v^{2}}\,E.
Para que \partial^{2}E/\partial x^{2}=(1/v^{2})\,\partial^{2}E/\partial t^{2}
precisamos de
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{\omega}{k},
que é exatamente a relação de dispersão obtida na Questão 1.

Resposta

A função \displaystyle E(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)
satisfaz a equação de onda \displaystyle \frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}
uma vez que substituições mostram que ambos os lados coincidem desde que \displaystyle v=\frac{\omega}{k}.

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