Uma partícula tem aceleração \vec{a}(t)=(6 t) \hat{i}-(2) \hat{j}+(\cos t) \hat{k}(\mathrm{SI}) . \operatorname{Em} t=0,
\vec{r}(0)=\hat{i}+2 \hat{k}, \quad \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} .
(a) Determine \vec{v}(t).
(b) Determine \vec{r}(t).

Passo a passo (guiado)

(a) Integre componente a componente:
v_{x}(t)=\int 6 t d t, \quad v_{y}(t)=\int(-2) d t, \quad v_{z}(t)=\int \cos t d t
(b) Use as condições iniciais v_{x}(0)=v_{y}(0)=v_{z}(0)=0 para fixar as constantes.
(c) Integre novamente para r_{x}, r_{y}, r_{z} e aplique \vec{r}(0)=(1,0,2).
(d) Opcional: verifique derivando \vec{r}(t) e \vec{v}(t).

Passo 1

O enunciado fornece a aceleração de uma partícula em função do tempo
\vec{a}(t) = (6t)\,\hat{i} \;-\; 2\,\hat{j} \;+\; (\cos t)\,\hat{k}
e as condições iniciais
\vec{v}(0) = \vec{0}, \quad \vec{r}(0) = \hat{i} + 2\,\hat{k}.
O objetivo é usar integração sucessiva (cinemática vetorial) para determinar \vec{v}(t) e \vec{r}(t).

Passo 2

Como \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}, integramos cada componente para obter \vec{v}(t) com constantes de integração C_1,C_2,C_3:
v_x(t) = \int 6t\,dt = 3t^2 + C_1,
v_y(t) = \int (-2)\,dt = -2t + C_2,
v_z(t) = \int \cos t\,dt = \sin t + C_3.

Passo 3

Aplicamos \vec{v}(0)=\vec{0} para determinar C_1,C_2,C_3:
em t=0 temos
v_x(0)=0 \implies 3\cdot0^2 + C_1 = 0 \implies C_1=0,
v_y(0)=0 \implies -2\cdot0 + C_2 = 0 \implies C_2=0,
v_z(0)=0 \implies \sin0 + C_3 = 0 \implies C_3=0.
Logo
\vec{v}(t) = 3t^2\,\hat{i} \;-\;2t\,\hat{j} \;+\;\sin t\,\hat{k}.

Passo 4

Agora \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Integramos cada componente para obter \vec{r}(t) com constantes D_1,D_2,D_3:
r_x(t) = \int 3t^2\,dt = t^3 + D_1,
r_y(t) = \int (-2t)\,dt = -t^2 + D_2,
r_z(t) = \int \sin t\,dt = -\cos t + D_3.

Passo 5

Usamos \vec{r}(0)=\hat{i}+2\hat{k}, ou seja (r_x(0),r_y(0),r_z(0))=(1,0,2):
em t=0
r_x(0)=1 \implies 0^3 + D_1 = 1 \implies D_1=1,
r_y(0)=0 \implies 0 + D_2 = 0 \implies D_2=0,
r_z(0)=2 \implies -\cos0 + D_3 = 2 \implies -1 + D_3 = 2 \implies D_3=3.
Logo
\vec{r}(t) = \bigl(t^3+1\bigr)\hat{i} \;-\; t^2\,\hat{j} \;+\;\bigl(3-\cos t\bigr)\hat{k}.

Resposta

\vec{v}(t) = 3t^2\,\hat{i} \;-\;2t\,\hat{j} \;+\;\sin t\,\hat{k},
\vec{r}(t) = \bigl(t^3+1\bigr)\hat{i} \;-\; t^2\,\hat{j} \;+\;\bigl(3-\cos t\bigr)\hat{k}.

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