Dada , se existem constantes e tais que cumpre a “condição de Hölder” , para quaisquer , então dizemos que é hölderiana. Mostre que se é hölderiana, então é contínua. Mostre que se é hölderiana, em que é um intervalo e , então é constante.
Passo 1
O enunciado trata de uma aplica\c{c}~ao entre espa\c{c}os m’etricos que satisfaz a condi\c{c}~ao de H"older: existem constantes e tais que, para quaisquer ,
Precisamos mostrar dois itens: . Se `e h"olderiana (isto 'e, satisfaz essa desigualdade), ent~ao `e cont’inua. . Se `e um intervalo e `e h"olderiana com , ent~ao `e constante.
Passo 2
Provar que é contínua.
Seja e fixe um . Escolha
Então, sempre que , temos
Isso mostra que, para todo , existe tal que implica . Logo, é contínua em , e como era arbitrário, é contínua em todo .
Passo 3
Provar que força constante em .
Tomemos dois pontos em . Para cada , particionamos em subintervalos de comprimento
Definimos para . Então
Como alpha>1, o fator n^1-alphato0 quando ntoinfty. Logo o lado direito tende a zero, forçando |f(b)-f(a)|=0, ou seja, f(b)=f(a). Como a e b eram quaisquer em I, f é constante em I.
Resposta
A aplica\c{c}~ao f que satisfaz a condi\c{c}~ao de H"older `e necess’ariamente cont’inua. Se, al’em disso, fcolon ItoR com IsubsetR `e h"olderiana para algum alpha>1, ent~ao f `e constante em I.