Dada f: M N, se existem constantes c>0 e alpha>0 tais que f cumpre a “condição de Hölder” d(f(x), f(y)) <= c d(x, y), para quaisquer x, y in M, então dizemos que f é hölderiana. Mostre que se f é hölderiana, então f é contínua. Mostre que se f: I R é hölderiana, em que I subset R é um intervalo e alpha>1, então f é constante.

Passo 1

O enunciado trata de uma aplica\c{c}~ao fcolon Mto N entre espa\c{c}os m’etricos que satisfaz a condi\c{c}~ao de H"older: existem constantes c>0 e alpha>0 tais que, para quaisquer x,yin M,
dNl(f(x),f(y)r)<= c,dM(x,y)^alpha
Precisamos mostrar dois itens:
1. Se f `e h"olderiana (isto 'e, satisfaz essa desigualdade), ent~ao f `e cont’inua.
2. Se IsubsetR `e um intervalo e fcolon ItoR `e h"olderiana com alpha>1, ent~ao f `e constante.

Passo 2

Provar que f é contínua.
Seja x0in M e fixe um varepsilon>0. Escolha
de<a = l(varepsilon/cr)^1/alpha
Então, sempre que dM(x,x0)<de<a, temos
dNl(f(x),f(x0)r);<=;c,dM(x,x0)^alpha ;<;c,de<a^alpha ;=;varepsilon
Isso mostra que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que dM(x,x0)<de<a implica dN(f(x),f(x0))<varepsilon. Logo, f é contínua em x0, e como x0 era arbitrário, f é contínua em todo M.

Passo 3

Provar que alpha>1 força f constante em I.
Tomemos dois pontos a<b em I. Para cada ninN, particionamos [a,b] em n subintervalos de comprimento
h = b-an
Definimos xk = a + k,h para k=0,1,dots,n. Então
|f(b)-f(a)| ;=;l|f(xn)-f(x0)r| ;<=;sumk=1^nl|f(xk)-f(xk-1)r| ;<=;sumk=1^n c,|xk - xk-1|^alpha ;=;n,c,h^alpha ;=;c,(b-a)^alpha,n^1-alpha
Como alpha>1, o fator n^1-alphato0 quando ntoinfty. Logo o lado direito tende a zero, forçando |f(b)-f(a)|=0, ou seja, f(b)=f(a). Como a e b eram quaisquer em I, f é constante em I.

Resposta

A aplica\c{c}~ao f que satisfaz a condi\c{c}~ao de H"older `e necess’ariamente cont’inua. Se, al’em disso, fcolon ItoR com IsubsetR `e h"olderiana para algum alpha>1, ent~ao f `e constante em I.

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