Exercício 1.13.8. Marque com um X a alternativa correta:
O lim x 2 sen(x-2)+x^2-4 x+4x^3-8 vale:
(a) 2 ln (5)5
(b) 5 ln (2)2
(c) 1
(d) 0
(e) 112.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 2 sin(x-2) + x^2 - 4x + 4x^3 - 8
Este é um caso de forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x)
quando f(a)=g(a)=0 e g'(a)neq0.

Passo 2

Verificamos substituição direta em x=2:
sin(2-2)=0 e 2^2-4cdot2+4=0, logo o numerador é 0.
O denominador é 2^3-8=0.
Temos, de fato, a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Definimos
f(x)=sin(x-2)+x^2-4x+4, g(x)=x^3-8
Então
f'(x)=cos(x-2)+2x-4, g'(x)=3x^2

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital,
limxto2f(x)g(x) =limxto2f'(x)g'(x) =f'(2)g'(2) =cos(0)+2cdot2-43cdot2^2 =1+012 =112

Passo 5

Compare com as alternativas fornecidas e marque com X a que for igual a tfrac112, ou seja, a letra (e).

Resposta

(e) 112

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