Exercício 1.13.8. Marque com um X a alternativa correta:
O resultado de lim x 0 5^x-5^-x5 x^2 cotg(x) é:
(a) 2 ln (5)5
(b) 5 ln (2)2
(c) 1
(d) 0
(e) 112.

Passo 1

O enunciado pede
limxto05^x-5^-x5,x^2cot(x)
e o conteúdo principal é cálculo de limite usando expansão em série de Taylor em torno de x=0 para e^u e para cot(x).

Passo 2

Reescrevemos o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos
5^x-5^-x=e^xln5-e^-xln5.
No denominador temos
5,x^2cot(x).

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor para e^u com u=pm xln5:
e^xln5-e^-xln5 =2,(xln5)+(xln5)^33+O(x^5)

Passo 4

Usamos a expansão de Taylor para cot(x):
cot(x)=1x-x3+O(x^3) Longrightarrow 5,x^2cot(x)=5l(x-x^33+O(x^5)r)

Passo 5

Formamos a razão e cancelamos o fator x:
2,ln5,x+(ln5)^33x^3+cdots 5l(x-x^33+cdotsr) =xl(2ln5+(ln5)^33x^2+cdotsr) xl(5-5x^23+cdotsr) approx2ln55quando xto0

Resposta

(a) 2ln(5)5

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