Exercício 1.13.6. Um corpo é solto no instante
Se fixarmos um instante e um instante qualquer é dada por
Suponha que , então a velocidade média entre os instantes 1 e é:
a) Considerando como descrita em (1.13.1), complete
b) Calcule .
c) O que se pode dizer sobre a velocidade em .
d) Esboce o gráfico de .
e) Esboce o gráfico de .

Passo 1

O enunciado define a posição vertical
e introduz a velocidade média em torno de em cada ramo de , em (b) os limites laterais quando , em (c) o que isso diz da velocidade instantânea em e em (d),(e) os esboços de e de .

Passo 2

Para 0<= t<1 vale s(t)=1-t^2, logo
vm(t)=1-t^2t-1 =(1-t)(1+t)t-1 =-,(1+t)
Para t>1 vale s(t)=0, logo
vm(t)=0t-1=0

Passo 3

O limite pela esquerda é
limtto1^-vm(t)=limtto1^-l[-(1+t)r]=-(1+1)=-2
O limite pela direita é
limtto1^+vm(t)=limtto1^+0=0

Passo 4

Como limtto1^-vm(t)=-2neq0=limtto1^+vm(t), a derivada de s em t=1 não existe: o corpo muda a velocidade de -2 (antes de atingir o solo) para 0 (depois), gerando uma descontinuidade.

Passo 5

O gráfico de s(t) é uma parábola invertida que liga (0,1) a (1,0), decaindo de forma côncava para baixo, e para t>=1 segue a reta horizontal s=0.

Passo 6

O gráfico de vm(t) é a reta vm(t)=-(1+t) em 0<= t<1 (que em t=0 vale -1 e em tto1^- vale -2), e para t>1 é a reta constante vm(t)=0. Em t=1 há um salto de -2 para 0.

Resposta

(a)
vm(t)= -,l(1+tr), & 0<= t<1, 0, & t>=1
(b) limtto1^-vm(t)=-2 e limtto1^+vm(t)=0.
(c) A velocidade instantânea em t=1 não está definida por derivada, pois os limites laterais são diferentes.
(d) Gráfico de s(t): parábola decrescente de (0,1) a (1,0) e depois reta horizontal s=0.
(e) Gráfico de vm(t): reta vm(t)=-(1+t) para 0<= t<1 e reta vm(t)=0 para t>1, com salto em t=1.

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