dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{1}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f(t) e pede para encontrar f(t). Informações fornecidas:
  • Foi informado que F(s)=\mathcal{L}(f(t)).
  • O valor dado é F(s)=\dfrac{1}{s^{3}}.
O que se pede: determinar explicitamente f(t) tal que a transformada de Laplace de f(t) seja 1/s^{3}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade muito útil (aqui explico passo a passo como funciona): há uma relação conhecida entre potências de t e potências de s na transformada de Laplace. Para inteiro n\ge 0 vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t^{n}\,dt=\frac{n!}{s^{n+1}},
onde n! é o fatorial de n (por exemplo 2!=2, 3!=6).
Explicação do que isso significa: ao transformar uma potência t^{n} no domínio do tempo, obtém-se uma função do tipo constante dividido por s^{n+1}. A constante é exatamente n!.
Um corolário imediato é para a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{m}}\right\}=\frac{t^{m-1}}{(m-1)!},
para m\ge 1. Aqui m é o expoente de s no denominador e (m-1)! é o fatorial correspondente.

Passo 3

Aplicando essa fórmula direta ao nosso caso: temos F(s)=\dfrac{1}{s^{3}}. Identificando m=3 na fórmula da inversa, obtemos
f(t)=\frac{t^{3-1}}{(3-1)!}=\frac{t^{2}}{2!}=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 4

Para ficar mais seguro (e aprender a verificar em prova), vamos checar calculando a transformada de Laplace de \dfrac{t^{2}}{2} por integração (sem usar tabelas). Começamos por computar
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}\,dt.
Fazendo integração por partes repetida (explicando cada passo):
  1. Tomar u=t^{2}, dv=e^{-st}dt. Então du=2t\,dt, v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}dt=\left[-\frac{t^{2}e^{-st}}{s}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt.
O termo de fronteira vale zero (pois t^{2}e^{-st}\to 0 quando t\to\infty para s>0, e é zero em t=0).
  1. Agora calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt por partes: tomar u=t, dv=e^{-st}dt. Então du=dt, v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Obtemos
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\left[-\frac{t e^{-st}}{s}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
  1. Substituindo de volta:
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}dt=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{2}}{2}\right\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{1}{s^{3}},
o que confirma que a inversa que encontramos está correta.

Passo 5

Dica prática para prova (resumindo e motivando): quando vir \dfrac{1}{s^{n}} pense logo que a inversa é uma potência de t dividida por fatorial: \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}. Isso evita cálculos longos e salva tempo. Se preferir, sempre pode checar por integração por partes como fiz acima.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{t^{2}}{2}

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