dada
, obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para encontrar
. Informações fornecidas:
- Foi informado que
. - O valor dado é
.
O que se pede: determinar explicitamente
tal que a transformada de Laplace de
seja
.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade muito útil (aqui explico passo a passo como funciona): há uma relação conhecida entre potências de
e potências de
na transformada de Laplace. Para inteiro
vale
onde
é o fatorial de
(por exemplo
,
).
Explicação do que isso significa: ao transformar uma potência no domínio do tempo, obtém-se uma função do tipo constante dividido por
. A constante é exatamente
.
Explicação do que isso significa: ao transformar uma potência
Um corolário imediato é para a transformada inversa:
para
. Aqui
é o expoente de
no denominador e
é o fatorial correspondente.
Passo 3
Aplicando essa fórmula direta ao nosso caso: temos
. Identificando
na fórmula da inversa, obtemos
Passo 4
Para ficar mais seguro (e aprender a verificar em prova), vamos checar calculando a transformada de Laplace de
por integração (sem usar tabelas). Começamos por computar
Fazendo integração por partes repetida (explicando cada passo):
- Tomar
, . Então , . Assim
O termo de fronteira vale zero (pois
quando
para
, e é zero em
).
- Agora calcular
por partes: tomar , . Então , . Obtemos
- Substituindo de volta:
Logo
o que confirma que a inversa que encontramos está correta.
Passo 5
Dica prática para prova (resumindo e motivando): quando vir
pense logo que a inversa é uma potência de
dividida por fatorial:
. Isso evita cálculos longos e salva tempo. Se preferir, sempre pode checar por integração por partes como fiz acima.