Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. (L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{1}{(s-\sqrt{3})(s+\sqrt{5})}\

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{1}{(s-\sqrt{3})(s+\sqrt{5})}
e pede para obter f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}=F. Dados importantes que temos:
  1. A função F(s) está escrita como uma fração com dois fatores lineares no denominador: s-\sqrt{3} e s+\sqrt{5}.
  2. As constantes \sqrt{3} e -\sqrt{5} são os polos de F(s).
  3. A resposta procurada é f(t), a transformada inversa de Laplace, normalmente definida para t\ge 0.

Passo 2

Qual método usar? Como temos fatores lineares distintos no denominador, o método mais direto e básico é decompor em frações parciais do tipo
\frac{1}{(s-a)(s-b)}=\frac{A}{s-a}+\frac{B}{s-b},
com a=\sqrt{3} e b=-\sqrt{5}. Depois aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo, usando que
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad (t\ge 0).
Esse método é o mais simples aqui porque cada fração parcial corresponde diretamente a uma exponencial.

Passo 3

Faça a decomposição em frações parciais. Colocando a=\sqrt{3} e b=-\sqrt{5}, escrevemos
\frac{1}{(s-a)(s-b)}=\frac{A}{s-a}+\frac{B}{s-b}.
Multiplicando ambos os lados por (s-a)(s-b) obtemos a identidade (em s):
1 = A(s-b) + B(s-a).

Passo 4

Determinar A e B avaliando a identidade em s=a e s=b.
  • Para s=a temos
1 = A(a-b) \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{a-b}.
  • Para s=b temos
1 = B(b-a) \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{b-a}.
Substituindo a=\sqrt{3} e b=-\sqrt{5} calculamos
a-b=\sqrt{3}-(-\sqrt{5})=\sqrt{3}+\sqrt{5},
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A=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \qquad B=\frac{1}{-\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}=-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}.

Passo 5

Reescrevemos F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{s-\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{s+\sqrt{5}}.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando a fórmula básica
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad(t\ge0),
temos para cada termo:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-\sqrt{3}}\right\}=e^{\sqrt{3}\,t}, \qquad \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+\sqrt{5}}\right\}=e^{-\sqrt{5}\,t}.
Portanto
f(t)=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\,e^{\sqrt{3}\,t} -\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\,e^{-\sqrt{5}\,t}
para t\ge 0.

Passo 7

Fatorando \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} fica uma forma mais compacta e elegante:
f(t)=\frac{e^{\sqrt{3}\,t}-e^{-\sqrt{5}\,t}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=\frac{e^{\sqrt{3}\,t}-e^{-\sqrt{5}\,t}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\quad (t\ge 0)

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