Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer.
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para obter
tal que
. Dados importantes que temos:
- A função
está escrita como uma fração com dois fatores lineares no denominador: e . - As constantes
e são os polos de . - A resposta procurada é
, a transformada inversa de Laplace, normalmente definida para .
Passo 2
Qual método usar? Como temos fatores lineares distintos no denominador, o método mais direto e básico é decompor em frações parciais do tipo
com
e
. Depois aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo, usando que
Esse método é o mais simples aqui porque cada fração parcial corresponde diretamente a uma exponencial.
Passo 3
Faça a decomposição em frações parciais. Colocando
e
, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (em
):
Passo 4
Determinar
e
avaliando a identidade em
e
.
- Para
temos
- Para
temos
Substituindo
e
calculamos
logo
Passo 5
Reescrevemos
com os coeficientes encontrados:
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando a fórmula básica
temos para cada termo:
Portanto
para
.
Passo 7
Fatorando
fica uma forma mais compacta e elegante: