O enunciado pede que mostremos, usando a definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=0.
Informações dadas e objetivo explícito:
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}},\qquad\text{queremos provar que } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto, precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left| \frac{1}{\sqrt{n+1}}-0\right|<\varepsilon.
Passo 2
Relembrando a definição (de forma simples): dizer que \lim_{n\to\infty} a_n = 0 significa:
para cada \varepsilon>0 podemos encontrar um índice N (dependente de \varepsilon) tal que, sempre que n\ge N, temos |a_n-0|<\varepsilon.
Aqui |a_n-0| é a distância do termo a_n ao limite 0.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso a_n, queremos garantir
\left|\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right|<\varepsilon.
Observação simples: para todo n\ge0 temos \sqrt{n+1}>0, então \left|\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n+1}}. Logo a condição fica
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\varepsilon.
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade \frac{1}{\sqrt{n+1}}<\varepsilon em função de n.
Como \varepsilon>0 e \sqrt{n+1}>0, podemos inverter os dois lados (isto inverte a desigualdade quando comparamos recíprocos de números positivos maiores que zero?), na verdade se 0<a<b então 1/a>1/b, então a operação correta é: a partir de \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\varepsilon passamos para
\sqrt{n+1}>\frac{1}{\varepsilon}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado (ambos positivos), obtendo
Assim \sqrt{n+1}>\dfrac{1}{\varepsilon}, e portanto
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\varepsilon.
Portanto, para esse N vale que para todo n\ge N temos \left|\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-0\right|<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de limite para sequências.
Passo 6
Conclusão: como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária e conseguimos encontrar um N\in\mathbb{N} (dependente de \varepsilon) que garante a desigualdade desejada para todo n\ge N, concluímos que