Sejam \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} e \left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} convergentes para x e y, respectivamente. Prove que
se y \neq 0, então x_{n} / y_{n} \rightarrow x / y;
Passo 1
O enunciado dá as sequências \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e \left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e informa que
x_{n}\to x\quad\text{e}\quad y_{n}\to y.
Também é dado que y\neq 0. A pergunta é: provar que
\frac{x_{n}}{y_{n}}\to\frac{x}{y}.
Informações relevantes: para qualquer \varepsilon>0 a definição de convergência exige um N tal que, para n\ge N, a diferença entre o termo da sequência e o limite seja menor que \varepsilon. Vamos usar isso para \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e manipular a diferença \left|\dfrac{x_n}{y_n}-\dfrac{x}{y}\right|.
Passo 2
Lembrete didático (definição de convergência que vamos usar): dizer que z_n\to z significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|z_n-z|<\varepsilon.
Aqui vamos aplicar essa definição a x_n e a y_n. Além disso usaremos propriedades básicas do valor absoluto e da desigualdade triangular:
Primeira observação importante: como y_{n}\to y e y\neq 0, os termos y_n ficam, a partir de algum índice, afastados de zero — isto é, existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
|y_n-y|<\frac{|y|}{2}.
Tomando essa desigualdade e usando a desigualdade triangular invertida, obtemos para n\ge N_0:
(na segunda desigualdade, se x=0 ela é desnecessária porque o coeficiente |x| zera o segundo termo; nesse caso só precisamos da primeira condição). Como x_n\to x e y_n\to y, existem N_1 e N_2 tais que, para n\ge N_1 vale a primeira desigualdade e, para n\ge N_2 vale a segunda. Defina
N=\max\{N_0,N_1,N_2\}.
Para n\ge N temos |y_n|\ge |y|/2 e ambas as desigualdades acima, então pela desigualdade do Passo 5:
Isso mostra que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a diferença é menor que \varepsilon. Portanto \dfrac{x_n}{y_n}\to\dfrac{x}{y}.
Passo 7
Resumo intuitivo e final (estímulo): a ideia principal foi garantir que os denominadores y_n não se aproximem de zero (porque y\neq 0), reescrever a diferença em termos de x_n-x e y_n-y, e usar a convergência dessas duas sequências para forçar a diferença total a ficar arbitrariamente pequena. Você conseguiu! Esse é o argumento padrão e direto que vale na prova.