Sejam \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} e \left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} convergentes para x e y, respectivamente. Prove que
se y \neq 0, então x_{n} / y_{n} \rightarrow x / y;

Passo 1

O enunciado dá as sequências \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e \left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e informa que
x_{n}\to x\quad\text{e}\quad y_{n}\to y.
Também é dado que y\neq 0. A pergunta é: provar que
\frac{x_{n}}{y_{n}}\to\frac{x}{y}.
Informações relevantes: para qualquer \varepsilon>0 a definição de convergência exige um N tal que, para n\ge N, a diferença entre o termo da sequência e o limite seja menor que \varepsilon. Vamos usar isso para \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e manipular a diferença \left|\dfrac{x_n}{y_n}-\dfrac{x}{y}\right|.

Passo 2

Lembrete didático (definição de convergência que vamos usar): dizer que z_n\to z significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|z_n-z|<\varepsilon.
Aqui vamos aplicar essa definição a x_n e a y_n. Além disso usaremos propriedades básicas do valor absoluto e da desigualdade triangular:
|a+b|\le |a|+|b|
e
\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\quad\text{se }b\neq 0.

Passo 3

Primeira observação importante: como y_{n}\to y e y\neq 0, os termos y_n ficam, a partir de algum índice, afastados de zero — isto é, existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
|y_n-y|<\frac{|y|}{2}.
Tomando essa desigualdade e usando a desigualdade triangular invertida, obtemos para n\ge N_0:
|y_n|\ge |y|-|y_n-y|>\;|y|-\frac{|y|}{2}=\frac{|y|}{2}.
Assim, a partir de N_0 temos a garantia de que y_n\neq 0 e que |y_n|\ge |y|/2. Isso é crucial para poder dividir por y_n sem problemas.

Passo 4

Agora calculamos a diferença que queremos controlar:
\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y} =\frac{x_n y - x y_n}{y_n y}.
Reescrevendo o numerador para separar as diferenças:
x_n y - x y_n = y(x_n-x) - x(y_n-y).
Logo
\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y}\right| =\frac{|\,y(x_n-x)-x(y_n-y)\,|}{|y_n||y|}.

Passo 5

Aplicamos a desigualdade triangular ao numerador:
|\,y(x_n-x)-x(y_n-y)\,|\le |y|\,|x_n-x| + |x|\,|y_n-y|.
Portanto, para n\ge N_0 (onde |y_n|\ge |y|/2) temos
\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y}\right| \le \frac{|y|\,|x_n-x| + |x|\,|y_n-y|}{|y|\,|y_n|} \le \frac{|y|\,|x_n-x| + |x|\,|y_n-y|}{|y|\,\frac{|y|}{2}}.
Simplificando,
\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y}\right| \le \frac{2}{|y|}\,|x_n-x| + \frac{2|x|}{|y|^{2}}\,|y_n-y|.

Passo 6

Agora fechamos o argumento \varepsilon- N. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y}\right|<\varepsilon.
Pelo que acabamos de obter, basta garantir que os dois termos do lado direito sejam menores que \varepsilon/2. Ou seja, precisamos de índices tais que
|x_n-x|<\frac{|y|}{4}\,\varepsilon \quad\text{e}\quad |y_n-y|<\frac{|y|^{2}}{4|x|}\,\varepsilon
(na segunda desigualdade, se x=0 ela é desnecessária porque o coeficiente |x| zera o segundo termo; nesse caso só precisamos da primeira condição). Como x_n\to x e y_n\to y, existem N_1 e N_2 tais que, para n\ge N_1 vale a primeira desigualdade e, para n\ge N_2 vale a segunda. Defina
N=\max\{N_0,N_1,N_2\}.
Para n\ge N temos |y_n|\ge |y|/2 e ambas as desigualdades acima, então pela desigualdade do Passo 5:
\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x}{y}\right| \le \frac{2}{|y|}\,|x_n-x| + \frac{2|x|}{|y|^{2}}\,|y_n-y| < \frac{2}{|y|}\cdot\frac{|y|}{4}\varepsilon + \frac{2|x|}{|y|^{2}}\cdot\frac{|y|^{2}}{4|x|}\varepsilon = \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso mostra que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a diferença é menor que \varepsilon. Portanto \dfrac{x_n}{y_n}\to\dfrac{x}{y}.

Passo 7

Resumo intuitivo e final (estímulo): a ideia principal foi garantir que os denominadores y_n não se aproximem de zero (porque y\neq 0), reescrever a diferença em termos de x_n-x e y_n-y, e usar a convergência dessas duas sequências para forçar a diferença total a ficar arbitrariamente pequena. Você conseguiu! Esse é o argumento padrão e direto que vale na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{y}

Exercícios relacionados