Seja \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} uma sequência. Prove que
(a) se \left|x_{n}\right| \rightarrow 0, então x_{n} \rightarrow 0;
(b) se x_{n} \rightarrow x, então \left|x_{n}\right| \rightarrow|x|;
(c) prove que a recíproca de (b) é falsa.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos uma sequência (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}. O exercício pede três coisas distintas:
(a) Mostrar que, se \left|x_{n}\right| \rightarrow 0, então x_{n} \rightarrow 0.
(b) Mostrar que, se x_{n} \rightarrow x, então \left|x_{n}\right| \rightarrow |x|.
(c) Mostrar que a recíproca de (b) é falsa; isto é, mostrar que é possível ter \left|x_{n}\right| \rightarrow |x| sem que x_{n} \rightarrow x. Pedir um contraexemplo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a sequência (x_n) é real (supõe-se em \mathbb{R}) e as afirmações tratam de convergência de sequências e de valor absoluto.

Passo 2

Definição de convergência e ferramenta básica que vamos usar. Vou explicar devagar, passo a passo, porque essa definição é a chave que você deve usar na prova.
Definição (epsilon– N): A sequência (x_n) converge para L (escrevemos x_n \to L) se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale
|x_n - L| < \varepsilon.
Significado prático: depois de algum índice N, todos os termos da sequência ficam dentro da “bola” de raio \varepsilon centrada em L.
Ferramenta de desigualdade sobre valores absolutos (muito útil): para quaisquer a,b\in\mathbb{R} vale a desigualdade
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| \le |a-b|.
Vou provar essa desigualdade rapidamente (é simples e importante): pela desigualdade triangular,
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Subtraindo |b| dos dois lados obtém-se
|a| - |b| \le |a-b|.
Troque a por b e b por a e obtemos
|b| - |a| \le |a-b|.
Juntando as duas desigualdades vem
-|a-b| \le |a|-|b| \le |a-b|,
o que equivale a
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| \le |a-b|.
Essa desigualdade é a ferramenta chave para (b).

Passo 3

Prova de (a): se \left|x_{n}\right| \rightarrow 0, então x_{n} \rightarrow 0.
Explicação informal antes da prova: notar que |x_n| é exatamente |x_n - 0|. Então se |x_n| fica arbitrariamente pequeno, isso diz que a distância entre x_n e 0 fica arbitrariamente pequena — que é exatamente a definição de x_n\to 0.
Prova formal usando epsilon– N: suponha \left|x_{n}\right| \rightarrow 0. Isso significa: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
|x_n| < \varepsilon.
Mas |x_n| = |x_n - 0|. Portanto, para o mesmo N temos, para todo n\ge N,
|x_n - 0| < \varepsilon.
Pelo critério de convergência, isso é exatamente a afirmação x_n \to 0. Fim da prova de (a).

Passo 4

Prova de (b): se x_{n} \rightarrow x, então \left|x_{n}\right| \rightarrow |x|.
Ideia antes da prova: usar a desigualdade que mostramos no Passo 2,
\bigl|\,|x_n|-|x|\,\bigr| \le |x_n - x|.
Se x_n\to x, então o lado direito tende a 0, logo o lado esquerdo também tende a 0, o que significa |x_n|\to|x|.
Prova formal com epsilon– N: suponha x_n \to x. Então, dado \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
|x_n - x| < \varepsilon.
Pela desigualdade do Passo 2, para todo n vale
\bigl|\,|x_n|-|x|\,\bigr| \le |x_n - x|.
Logo, para n\ge N,
\bigl|\,|x_n|-|x|\,\bigr| \le |x_n - x| < \varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe N com \bigl|\,|x_n|-|x|\,\bigr|<\varepsilon para todo n\ge N, isto é, |x_n|\to|x|. Fim da prova de (b).

Passo 5

Prova de (c): a recíproca de (b) é falsa — construção de um contraexemplo e explicação.
O que a recíproca diria se fosse verdadeira? Que, sempre que |x_n|\to|x|, então x_n\to x. Vou mostrar que isso não é verdade com um exemplo bem simples e clássico.
Escolha a sequência
x_n = (-1)^n,
ou seja, x_1=-1, x_2=1, x_3=-1, x_4=1,\dots. Tome x=1. Então para todo n temos |x_n| = 1, logo \left|x_n\right| \rightarrow 1 = |x|. Assim |x_n|\to|x| é verdadeiro.
Agora mostro que x_n não converge para x=1. Suponha, para fins de contradição, que x_n\to 1. Então, tomando \varepsilon=\tfrac{1}{2}, deveria existir N tal que, para todo n\ge N,
|x_n - 1| < \tfrac{1}{2}.
Mas para qualquer n ímpar temos x_n = -1, e então
|x_n - 1| = |-1 - 1| = 2 \ge \tfrac{1}{2},
ou seja, existem índices arbitrariamente grandes (todos os ímpares) para os quais |x_n-1|=2, portanto não podemos garantir que para todo n\ge N a distância seja menor que \tfrac{1}{2}. Contradição. Assim x_n não converge para 1. Portanto a recíproca é falsa.
Observação intuitiva: |x_n| perde informação sobre o sinal; sequências que só oscilam em sinal podem ter módulos convergentes sem que a sequência original convirja.

Resposta

(a) Verdadeiro: x_n\to 0.
(b) Verdadeiro: |x_n|\to |x|.
(c) Falsa. Contraexemplo: x_n = (-1)^n; tem |x_n|\to 1 = |1| mas x_n não converge para 1.

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