Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{n \pi L}{L^{2} s^{2}+n^{2} \pi^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}=F. As informações dadas são:
F(s)=\frac{n \pi L}{L^{2} s^{2}+n^{2} \pi^{2}},
onde L e n são constantes. A tarefa é obter f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula fundamental da transformada de Laplace que usaremos: para qualquer constante a>0,
\mathscr{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Explicando: aqui s é a variável do domínio da transformada (complexa), t é a variável do tempo, e a é um parâmetro que aparece tanto no numerador quanto no denominador da fração. A operação inversa, \mathscr{L}^{-1}, inverte essa relação:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\sin(at).

Passo 3

Agora vamos manipular F(s) para colocá-lo numa forma que possamos comparar com \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Começo fatorando L^{2} no denominador:
L^{2}s^{2}+n^{2}\pi^{2}=L^{2}\!\left(s^{2}+\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\right).
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F(s)=\frac{n\pi L}{L^{2}\!\left(s^{2}+\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\right)} =\frac{n\pi}{L}\cdot\frac{1}{s^{2}+\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2}}.

Passo 4

Compare a expressão obtida com a forma \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Podemos identificar
a=\frac{n\pi}{L}.
Portanto
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
e aplicando a transformada inversa conhecida,
f(t)=\sin\!\left(at\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\,t\right).
Aqui usei também a linearidade da transformada de Laplace (mas neste caso não foi preciso combinar termos lineares além da identificação direta).

Passo 5

Para ter certeza e treinar a verificação (útil na prova), calculemos a transformada direta de f(t)=\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}t\big):
\mathscr{L}\left\{\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}t\right)\right\} =\frac{\dfrac{n\pi}{L}}{s^{2}+\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2}} =\frac{n\pi L}{L^{2}s^{2}+n^{2}\pi^{2}},
que é exatamente F(s). Portanto a inversa está correta.

Resposta

\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}\,t\right)

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