Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
tal que
. As informações dadas são:
onde
e
são constantes. A tarefa é obter
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula fundamental da transformada de Laplace que usaremos: para qualquer constante
,
Explicando: aqui
é a variável do domínio da transformada (complexa),
é a variável do tempo, e
é um parâmetro que aparece tanto no numerador quanto no denominador da fração. A operação inversa,
, inverte essa relação:
Passo 3
Agora vamos manipular
para colocá-lo numa forma que possamos comparar com
. Começo fatorando
no denominador:
Logo
Passo 4
Compare a expressão obtida com a forma
. Podemos identificar
Portanto
e aplicando a transformada inversa conhecida,
Aqui usei também a linearidade da transformada de Laplace (mas neste caso não foi preciso combinar termos lineares além da identificação direta).
Passo 5
Para ter certeza e treinar a verificação (útil na prova), calculemos a transformada direta de
:
que é exatamente
. Portanto a inversa está correta.