Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
igual a
O que se pede: obter a função original
. Informação adicional:
são constantes (irrelevantes aqui). Não há figura nem tabela.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão de
para colocá‑la numa forma padrão do tipo
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Este é um passo puramente algébrico: dividir ambos termos do denominador por
e ajustar o numerador.
Passo 3
Agora lembro a fórmula básica de Laplace que vamos usar (a “aula” curta): para uma constante
,
desde que
(condição de convergência). Aqui
é a variável do tempo (a variável da função original) e
é a variável complexa da transformada. Essa fórmula significa que a transformada inversa de
é
.
Passo 4
Usando a linearidade da transformada de Laplace (constantes saem da transformada), se temos
então
para qualquer constante
. Na nossa expressão simplificada vimos que
logo a função original é
Aqui aplicamos diretamente a correspondência inversa
e o fator
sai multiplicando.
Passo 5
Para ter certeza, fazemos uma verificação rápida calculando a transformada de Laplace de
encontrada:
Calcule
Calcule
A integral de
de
a
vale
se
. Aqui
, então
que é exatamente
. Verificação concluída.