Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{10}{2 s+\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace F(s)=\mathscr{L}\{f\}(s) igual a
F(s)=\frac{10}{2s+\sqrt{2}}.
O que se pede: obter a função original f(t). Informação adicional: L,n,k,a,b são constantes (irrelevantes aqui). Não há figura nem tabela.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão de F(s) para colocá‑la numa forma padrão do tipo \dfrac{\text{constante}}{s+a}. Dividindo numerador e denominador por 2 obtemos
\frac{10}{2s+\sqrt{2}}=\frac{10/2}{s+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{s+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Este é um passo puramente algébrico: dividir ambos termos do denominador por 2 e ajustar o numerador.

Passo 3

Agora lembro a fórmula básica de Laplace que vamos usar (a “aula” curta): para uma constante a,
\mathscr{L}\{e^{-at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
desde que \operatorname{Re}(s+a)>0 (condição de convergência). Aqui t é a variável do tempo (a variável da função original) e s é a variável complexa da transformada. Essa fórmula significa que a transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é e^{-at}.

Passo 4

Usando a linearidade da transformada de Laplace (constantes saem da transformada), se temos
\mathscr{L}\{e^{-at}\}(s)=\frac{1}{s+a},
então
\mathscr{L}\{C\,e^{-at}\}(s)=\frac{C}{s+a}
para qualquer constante C. Na nossa expressão simplificada vimos que
F(s)=\frac{5}{s+\dfrac{\sqrt{2}}{2}},
logo a função original é
f(t)=5\,e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}\,t}.
Aqui aplicamos diretamente a correspondência inversa \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at} e o fator 5 sai multiplicando.

Passo 5

Para ter certeza, fazemos uma verificação rápida calculando a transformada de Laplace de f(t) encontrada:
Calcule
\mathscr{L}\{5e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\}(s)=5\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\,dt =5\int_{0}^{\infty} e^{-\left(s+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)t}\,dt.
A integral de e^{-\alpha t} de 0 a \infty vale \dfrac{1}{\alpha} se \operatorname{Re}(\alpha)>0. Aqui \alpha=s+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\mathscr{L}\{5e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\}(s)=\frac{5}{s+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{2s+\sqrt{2}},
que é exatamente F(s). Verificação concluída.

Resposta

f(t)=5e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}t},\quad t\ge 0

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