Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
\sum_{k=1}^{4} \frac{(k+1)^{2}}{s+k^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace F(s)=\mathscr{L}\{f\}(s) e pede para obter f(t). A informação fornecida é:
F(s)=\sum_{k=1}^{4}\frac{(k+1)^{2}}{s+k^{2}}.
As constantes aqui são os índices k=1,2,3,4 e os números k^{2} aparecem nos denominadores. A tarefa é encontrar a função f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}(s)=F(s).

Passo 2

Lembrete básico (fórmula que vamos usar). A transformada de Laplace da função exponencial \,e^{-a t}\, é
\mathscr{L}\{e^{-a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-a t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
válida para \operatorname{Re}(s)>-a. Aqui a é uma constante que representa a taxa de decaimento no expoente e s é a variável complexa da transformada. Esta é uma transformada padrão e muito usada.

Passo 3

Propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Se g(t) e h(t) têm transformadas, então para constantes A,B vale
\mathscr{L}\{A g(t)+B h(t)\}(s)=A\mathscr{L}\{g\}(s)+B\mathscr{L}\{h\}(s).
Isso permite tratar soma de frações em F(s) termo a termo: cada fração corresponde à transformada de uma função simples multiplicada por um coeficiente.

Passo 4

Aplicando a fórmula da transformada de e^{-a t} ao nosso caso: cada termo da soma tem a forma \dfrac{(k+1)^{2}}{s+k^{2}}. Comparando com \dfrac{1}{s+a} identificamos a=k^{2}. Assim, a transformada inversa de \dfrac{1}{s+k^{2}} é e^{-k^{2} t}. Pela linearidade, a transformada inversa de \dfrac{(k+1)^{2}}{s+k^{2}} é (k+1)^{2}e^{-k^{2} t}.

Passo 5

Invertendo termo a termo a soma em F(s) obtemos
f(t)=\sum_{k=1}^{4}(k+1)^{2}e^{-k^{2} t}.
Agora calculamos explicitamente os coeficientes (k+1)^{2} para cada k:
  • para k=1: (1+1)^{2}=4,
  • para k=2: (2+1)^{2}=9,
  • para k=3: (3+1)^{2}=16,
  • para k=4: (4+1)^{2}=25.

Passo 6

Substituindo os coeficientes, escrevemos f(t) de forma explícita:
f(t)=4e^{-1\cdot t}+9e^{-4\cdot t}+16e^{-9\cdot t}+25e^{-16\cdot t}.
Uma verificação rápida: aplicando \mathscr{L} termo a termo em f(t) retorna \dfrac{4}{s+1}+\dfrac{9}{s+4}+\dfrac{16}{s+9}+\dfrac{25}{s+16}, que é exatamente F(s). A região de convergência comum é \operatorname{Re}(s)>-1 (o maior dos -k^{2} é -1, que impõe a condição mais forte).

Resposta

f(t)=4e^{-t}+9e^{-4t}+16e^{-9t}+25e^{-16t}

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