Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para obter
. A informação fornecida é:
As constantes aqui são os índices
e os números
aparecem nos denominadores. A tarefa é encontrar a função
tal que
.
Passo 2
Lembrete básico (fórmula que vamos usar). A transformada de Laplace da função exponencial
é
válida para
. Aqui
é uma constante que representa a taxa de decaimento no expoente e
é a variável complexa da transformada. Esta é uma transformada padrão e muito usada.
Passo 3
Propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Se
e
têm transformadas, então para constantes
vale
Isso permite tratar soma de frações em
termo a termo: cada fração corresponde à transformada de uma função simples multiplicada por um coeficiente.
Passo 4
Aplicando a fórmula da transformada de
ao nosso caso: cada termo da soma tem a forma
. Comparando com
identificamos
. Assim, a transformada inversa de
é
. Pela linearidade, a transformada inversa de
é
.
Passo 5
Invertendo termo a termo a soma em
obtemos
Agora calculamos explicitamente os coeficientes
para cada
:
- para
: , - para
: , - para
: , - para
: .
Passo 6
Substituindo os coeficientes, escrevemos
de forma explícita:
Uma verificação rápida: aplicando
termo a termo em
retorna
, que é exatamente
. A região de convergência comum é
(o maior dos
é
, que impõe a condição mais forte).