Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para obter
. As informações relevantes que temos são:
onde
e
são constantes. O objetivo é calcular a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função
tal que
.
Passo 2
Lembrete rápido e essencial (com explicação): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
Duas fórmulas padrão que usaremos e que valem para
suficientemente grande são:
e
Essas fórmulas são muito úteis porque nos dão inversas imediatas:
e
.
Passo 3
Para inverter
quando
, o caminho mais simples é fazer decomposição em frações parciais. Assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora encontramos
e
escolhendo valores de
convenientes (método direto): tomar
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição, temos (mostrando a manipulação):
Essa forma está pronta para aplicar a transformada inversa usando linearidade.
Passo 6
Aplicando a transformada inversa termo a termo e usando
, obtemos para
:
Isso é válido para
(regime usual da transformada de Laplace).
Passo 7
Agora tratamos a situação especial quando
. Nesse caso
e a decomposição anterior não vale (divisão por zero). Usamos a fórmula conhecida ou uma propriedade de derivação:
Portanto, quando
a inversa é
Passo 8
Resumo interpretativo rápido — se
e
são diferentes pegamos a diferença de exponenciais ajustada pelo fator
; se são iguais aparece um fator
multiplicando o expoente decrescente, sinal típico de polo duplo na transformada.