Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{1}{(s+a)(s+b)}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace F(s)=\mathscr{L}\{f\}=\dfrac{1}{(s+a)(s+b)} e pede para obter f(t). As informações relevantes que temos são:
F(s)=\frac{1}{(s+a)(s+b)},
onde a e b são constantes. O objetivo é calcular a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}=F.

Passo 2

Lembrete rápido e essencial (com explicação): a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Duas fórmulas padrão que usaremos e que valem para \operatorname{Re}(s) suficientemente grande são:
\mathscr{L}\{e^{-at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
e
\mathscr{L}\{t e^{-at}\}(s)=\frac{1}{(s+a)^2}.
Essas fórmulas são muito úteis porque nos dão inversas imediatas: \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at} e \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+a)^2}\}=t e^{-at}.

Passo 3

Para inverter F(s)=\dfrac{1}{(s+a)(s+b)} quando a\neq b, o caminho mais simples é fazer decomposição em frações parciais. Assumimos
\frac{1}{(s+a)(s+b)}=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s+a)(s+b) obtemos
1 = A(s+b)+B(s+a).
Agora encontramos A e B escolhendo valores de s convenientes (método direto): tomar s=-a e s=-b.
Para s=-a:
1 = A(-a+b) \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{b-a}.
Para s=-b:
1 = B(-b+a) \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{a-b}=-\frac{1}{b-a}.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, temos (mostrando a manipulação):
\frac{1}{(s+a)(s+b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\right).
Essa forma está pronta para aplicar a transformada inversa usando linearidade.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo e usando \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}, obtemos para a\neq b:
f(t)=\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right).
Isso é válido para t\ge 0 (regime usual da transformada de Laplace).

Passo 7

Agora tratamos a situação especial quando a=b. Nesse caso F(s)=\dfrac{1}{(s+a)^2} e a decomposição anterior não vale (divisão por zero). Usamos a fórmula conhecida ou uma propriedade de derivação:
\mathscr{L}\{t e^{-at}\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathscr{L}\{e^{-at}\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{(s+a)^2}.
Portanto, quando a=b a inversa é
f(t)=t e^{-at}.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido — se a e b são diferentes pegamos a diferença de exponenciais ajustada pelo fator \dfrac{1}{b-a}; se são iguais aparece um fator t multiplicando o expoente decrescente, sinal típico de polo duplo na transformada.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{b-a}\bigl(e^{-a t}-e^{-b t}\bigr) para a\neq b.
\displaystyle f(t)=t\,e^{-a t} para a=b.

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