Dada f(t)=\frac{|3+t|-|t|-3}{t}, expresse f(t) sem as barras de valor absoluto. Desenhe o gráfico de f.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever
f(t)=\frac{|3+t|-|t|-3}{t}
sem os módulos e, em seguida, esboçar o gráfico de f.
O conteúdo aqui é análise de valor absoluto em função de uma variável e montagem de função por partes.
Passo 2
Identificamos os pontos em que mudam os sinais de 3+t e de t:
– 3+t=0 em t=-3.
– t=0.
Assim, separamos o domínio em três intervalos: (-\infty,-3), [-3,0) e (0,\infty).
Passo 3
Em cada região determinamos |3+t| e |t| e simplificamos:
Para t<-3: 3+t<0\Rightarrow|3+t|=-(3+t)=-t-3, e t<0\Rightarrow|t|=-t.
Então o numerador fica
(-t-3)-(-t)-3=-t-3+t-3=-6,
de modo que
f(t)=\frac{-6}{t}\quad(t<-3).
Para -3\le t<0: 3+t\ge0\Rightarrow|3+t|=3+t, e t<0\Rightarrow|t|=-t.
Assim o numerador é
(t+3)-(-t)-3=t+3+t-3=2t,
e
f(t)=\frac{2t}{t}=2\quad(-3\le t<0).
Para t>0: 3+t>0\Rightarrow|3+t|=3+t, e t>0\Rightarrow|t|=t.
O numerador torna‐se