Dada f(t)=\frac{|3+t|-|t|-3}{t}, expresse f(t) sem as barras de valor absoluto. Desenhe o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
f(t)=\frac{|3+t|-|t|-3}{t}
sem os módulos e, em seguida, esboçar o gráfico de f.
O conteúdo aqui é análise de valor absoluto em função de uma variável e montagem de função por partes.

Passo 2

Identificamos os pontos em que mudam os sinais de 3+t e de t:
3+t=0 em t=-3.
t=0.
Assim, separamos o domínio em três intervalos: (-\infty,-3), [-3,0) e (0,\infty).

Passo 3

Em cada região determinamos |3+t| e |t| e simplificamos:
  1. Para t<-3:
    3+t<0\Rightarrow|3+t|=-(3+t)=-t-3, e t<0\Rightarrow|t|=-t.
    Então o numerador fica
(-t-3)-(-t)-3=-t-3+t-3=-6,
de modo que
f(t)=\frac{-6}{t}\quad(t<-3).
  1. Para -3\le t<0:
    3+t\ge0\Rightarrow|3+t|=3+t, e t<0\Rightarrow|t|=-t.
    Assim o numerador é
(t+3)-(-t)-3=t+3+t-3=2t,
e
f(t)=\frac{2t}{t}=2\quad(-3\le t<0).
  1. Para t>0:
    3+t>0\Rightarrow|3+t|=3+t, e t>0\Rightarrow|t|=t.
    O numerador torna‐se
(t+3)-t-3=0,
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f(t)=0\quad(t>0).

Passo 4

Combinando, obtemos a definição sem módulos:
f(t)= \begin{cases} -\dfrac{6}{t}, & t<-3,\\[6pt] 2, & -3\le t<0,\\[3pt] 0, & t>0, \end{cases}
e f não está definida em t=0.]

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
  • Para t<-3: ramo de hipérbole y=-6/t, que passa em (-3,2) e tende a y=0 quando t\to-\infty.
  • No intervalo [-3,0): reta horizontal y=2. Em t=-3 o valor é 2. Em t\to0^- há um ponto aberto em (0,2).
  • Para t>0: reta horizontal y=0, com ponto aberto em (0,0).
Em t=0 há descontinuidade de salto entre y=2 (à esquerda) e y=0 (à direita).

Resposta

f(t)= \begin{cases} -\dfrac{6}{t}, & t<-3,\\[6pt] 2, & -3\le t<0,\\[3pt] 0, & t>0, \end{cases}
Não existe f(0). O gráfico é o ramo de hipérbole para t<-3, a reta em y=2 para -3\le t<0 e a reta em y=0 para t>0, com salto em t=0.]

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